教科書のデータ
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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5式の分子は 30、分母のかっこは 50 と 30 なので、r = 30 / √1500 = √15/5、およそ 0.7746 です。r² はちょうど 0.6。判定は強い正の相関で、回帰直線は y = 0.6x + 2.2 です。
相関係数の計算ツール
データからピアソンの r を根号の正確な形で。強さの判定と計算過程つき。
最終更新
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r は点がどれだけ直線に沿っているかを測る
相関係数 r は -1 から 1 までの1つの数です。符号は傾向の向きを表し、x が増えると y も増える傾向なら正、減る傾向なら負です。大きさは点がどれだけぴったり直線に寄り添っているかを表し、すべての点が1本の直線上にあれば 1 か -1、直線的な傾向がまったくなければ 0 です。単位を持たないので、x をメートルではなくセンチメートルで測っても変わりません。
計算は統計の授業で過程を書くよう求められるものです。x、y、xy、x²、y² の表を作り、各列を合計して、r = (nΣxy − ΣxΣy) を (nΣx² − (Σx)²) と (nΣy² − (Σy)²) の積の平方根で割った式に代入します。このページは答えの下にその表と、数を入れた式を表示するので、数値は計算の過程といっしょに届きます。
答えは正確です。入力できるデータでは r の2乗はつねに分数になるので、r 自体は分数の平方根に符号をつけたものです。このページが表示するのもその形で、教科書のデータなら 0.77 ではなく √15/5 です。0.77 はその最初の2桁にすぎません。小数は根号の隣に並び、強さの判定は下に示す基準でその小数を読みます。
r の読み方
- 符号は向き、大きさは強さです。r = -0.95 は r = 0.6 より強い関係で、向きが逆なだけです。
- このページは |r| が 0.7 以上を強い、0.4 以上 0.7 未満を中程度、0.1 以上 0.4 未満を弱い、0.1 未満を線形相関なしとしています。よく使われる目安であって規則ではなく、分野ごとに独自の基準があります。
- r² は、y のばらつきのうち回帰直線で説明できる割合です。r = √15/5 なら r² = 0.6 で、直線がばらつきの 60% を説明します。
- r が測るのは直線的な関係だけです。x = -2 から 2 までで y = x² の上にぴったり並ぶ点は、r = 0 です。
- 外れ値が1つあるだけで r はがらりと変わります。教科書のデータに点 (10, 0) を加えると、r はおよそ 0.7746 からおよそ -0.5529 になります。
- どちらかの変数の尺度を変えても、x と y を入れ替えても、r は変わりません。回帰直線は入れ替えると変わりますが、r は変わりません。
相関係数を手で求める手順
和の表を作る
各点について x、y、xy、x²、y² を書き、列ごとに合計して点の数を数えます。x = 1, 2, 3, 4, 5、y = 2, 4, 5, 4, 5 なら n = 5、Σx = 15、Σy = 20、Σxy = 66、Σx² = 55、Σy² = 86 です。
分子を計算する
nΣxy − ΣxΣy = 5 × 66 − 15 × 20 = 30。この符号が r の符号です。
分母の2つのかっこを計算する
nΣx² − (Σx)² = 275 − 225 = 50、nΣy² − (Σy)² = 430 − 400 = 30。x がすべて同じか y がすべて同じでないかぎり、どちらもつねに正です。
割って簡単にする
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5。小数ではおよそ 0.7746 で、強い正の相関です。
r をひと目で読む
判定の言葉は、この計算ツールが表示するものです。r² は r を2回掛けたものなので、符号は消えます。
| r | 判定 | r² | 散布図の見え方 |
|---|---|---|---|
| 1 | 完全な正の相関 | 1 | すべての点が右上がりの1本の直線上にある |
| 0.9 | 強い正の相関 | 0.81 | 右上がりの細い帯 |
| 0.7 | 強い正の相関 | 0.49 | ややばらつきのある、はっきりした右上がりの帯 |
| 0.5 | 中程度の正の相関 | 0.25 | ばらつきの大きい右上がりの傾向 |
| 0.2 | 弱い正の相関 | 0.04 | 数値がなければ見落とすほどの傾き |
| 0.05 | 線形相関なし | 0.0025 | 形のない雲、または曲線 |
| -0.8 | 強い負の相関 | 0.64 | はっきりした右下がりの帯 |
| -1 | 完全な負の相関 | 1 | すべての点が右下がりの1本の直線上にある |
解いてみる
強い負の相関
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2分子は -168、かっこは 105 と 296 なので、r = -168 / √31080 = -2√7770/185、およそ -0.9529 です。r² = 168/185、およそ 0.9081。x が増えると y は確実に減ります。パターンを崩す1点 (3, 9) があっても、関係はほとんど弱まりません。
弱い相関
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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4、およそ 0.3536 で、r² = 0.125 なので、直線で説明できるのは y のばらつきの8分の1です。判定は弱い正の相関です。右上がりの傾きはありますが、散布図ではほとんどがノイズに見えるでしょう。
r = 0 なのに完全な関係
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x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4すべての点が y = x² の上にあるのに、r はちょうど 0 です。式の分子は 5 × 0 − 0 × 10 = 0。下がっていく左半分が、上がっていく右半分を打ち消します。r が測るのは直線的な関係だけで、だからまず散布図を見るのです。
外れ値1つがすること
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x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0教科書のデータに点 (10, 0) を1つ加えたものです。r はおよそ 0.7746 から -52√8845/8845、およそ -0.5529 に下がります。この1点は符号を逆転させるほど遠くにあります。逆向きにも同じことが起こります。x = 1〜5、y = 3, 1, 4, 1, 5 は r ≈ 0.3536 ですが、(12, 12) を加えるとおよそ 0.9084 まで上がります。
よくある間違い
- 2乗の和ではなく和の2乗を計算する。x = 1〜5 の Σx² は 55、(Σx)² は 225 です。取り違えると r が 1 を超えることがあり、それはありえません。
- r = 0 を関係なしと読む。意味するのは直線的な関係がないことで、点が曲線上にぴったり並んでいることはありえます。
- 強い r を因果の証拠とみなす。2つの量がいっしょに増えるのは、第3の要因が両方を動かしているからかもしれず、偶然かもしれません。
- r の値を符号で比べる。-0.9 は 0.6 より強い相関です。大きさを比べ、符号は向きとして別に読んでください。
- 散布図を見ずに r を引用する。外れ値1つで符号が逆転することも、高い値の陰に曲線が隠れていることもあります。
- r を丸めてから2乗する。r ≈ 0.77 なら 0.5929 になりますが、教科書のデータの r² はちょうど 0.6 です。正確な値を2乗してください。
相関係数についてよくある質問
相関係数はどう計算しますか。
各点について x、y、xy、x²、y² の表を作り、列ごとに合計します。すると r = (nΣxy − ΣxΣy) / √((nΣx² − (Σx)²)(nΣy² − (Σy)²)) です。x = 1〜5、y = 2, 4, 5, 4, 5 なら 30 / √(50 × 30) = √15/5、およそ 0.7746 になります。上に自分の2列を貼り付ければ、ページが同じように式を埋めます。
相関係数がいくつなら強い相関ですか。
この計算ツールは |r| が 0.7 以上を強い、0.4 以上 0.7 未満を中程度、0.1 以上 0.4 未満を弱い、0.1 未満を線形相関なしとしています。教科書でよく使われる目安であって、どこでも通用する基準ではありません。物理の実験では 0.9 でも物足りないことがあり、社会科学では 0.4 でも注目に値する結果になりえます。
r と r² の違いは何ですか。
r には符号があり、r² にはありません。r は向きと強さを表し、r² は y のばらつきのうち回帰直線で説明できる割合を表します。r = 0.7746 なら r² = 0.6 で、直線がばらつきの 60% を説明し、40% がばらつきとして残るという意味です。
相関係数が 1 を超えることはありますか。
ありません。r はつねに -1 から 1 の間にあり、どちらかの端に届くのはすべての点が1本の直線上にあるときだけです。1 を超える答えが出たら、どこかの和が間違っています。いちばん多いのは Σx² を (Σx)² として計算してしまうことです。
相関が高ければ、一方が他方の原因ですか。
いいえ。このデータで2つがいっしょに動くというだけです。暑い天気がアイスクリームの売上と水の事故の両方を増やすように、第3の要因が両方を動かしていることもあれば、因果が逆向きのこともあります。原因を示すには、実験か、仕組みについての議論が必要です。
これはピアソンの相関係数ですか、スピアマンの順位相関係数ですか。
ピアソンの r、つまり普通の相関係数で、値そのものに直線がどれだけ当てはまるかを測ります。スピアマンの順位相関係数は同じ式を値の順位に使うもので、そのため一定の向きに増え続けるか減り続ける関係ならどんな形でも測れ、外れ値の影響も受けにくくなります。
r が平方根の形で表示されるのはなぜですか。
それが正確な値だからです。入力できるデータでは r² はつねに分数なので、r はその分数の平方根に符号をつけたものです。教科書のデータなら √15/5 です。小数 0.7746 は近似として隣に表示され、強さの判定はその小数を読んでいます。
何点必要ですか。
ここでは少なくとも3点です。2点なら直線はどんな2点も通るので r はつねに 1 か -1 になり、その数はデータについて何も語りません。数点しかなくても r は大きく揺れるので、5点から出した r はおおまかな目安として扱ってください。
