Um trinômio simples: x² - 5x + 6
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x^2 - 5x + 6Dois números cujo produto é 6 e cuja soma é -5: -2 e -3. Então fica (x - 2)(x - 3). Com coeficiente principal 1 esse é o método inteiro, e vale fazer uma dúzia até o par aparecer sem procura.
Calculadora de fatoração
Qualquer polinômio fatorado, com o nome do padrão de cada passo.
Última atualização
Quer resolver isso sem a calculadora?
O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Fatorar é reconhecer padrões - e os padrões são contáveis
Ao fatorar um polinômio só acontecem cerca de seis coisas: sai um fator comum, uma diferença de quadrados se separa, um quadrado perfeito virá um parêntese ao quadrado, um trinômio se divide em dois parênteses, quatro termos se agrupam em pares, ou uma soma ou diferença de cubos se abre. Tudo o que vão pedir para fatorar na álgebra escolar é uma dessas coisas, ou uma delas aplicada duas vezes.
Por isso o que uma calculadora tem de útil a dizer não é a resposta - é qual padrão ela usou e por que esse. Aqui cada linha tem nome. Quando o mesmo problema aparecer numa prova, você não vai tentar lembrar o que esta página disse: vai procurar o padrão que ela apontou.
Funciona de forma exata, tanto com coeficientes inteiros como fracionários, e se verifica: a última linha multiplica os fatores de volta e mostra o polinômio inicial. Essa verificação é a resposta para «como sei que está certo?», e você pode fazê-la à mão com qualquer resposta, de qualquer fonte, sempre.
O que observar nos passos
- Procure primeiro um fator comum. 3x² - 27 não é diferença de quadrados até o 3 sair, e metade dos «não fatora» é na verdade «não coloquei o 3 em evidência».
- Dois termos: procure quadrados ou cubos. Três: trinômio ou quadrado perfeito. Quatro: tente agrupar. Contar os termos elimina quase tudo antes de tentar qualquer coisa.
- A diferença de quadrados se separa; a soma de quadrados não. x² - 9 fatora e x² + 9 não - essa assimetria vale memorizar em vez de redescobrir.
- Verifique multiplicando de volta, que é exatamente o que a última linha faz. Leva dez segundos e pega qualquer erro de sinal.
- «Não fatora» é uma resposta real. x² + x + 1 não tem fatores racionais, e saber quando parar faz parte da habilidade.
Como usar a calculadora de fatoração
Digite o polinômio
Escreva como no papel:
x^2 - 5x + 6,4x^2 - 12x + 9,x^3 - 8. Use^para potências. Uma letra, ou duas (x^2 - y^2também funciona).Leia a resposta e depois o padrão
A forma fatorada está no alto. Os passos numerados abaixo nomeiam o padrão de cada um - é essa parte que serve para a próxima questão.
Olhe os zeros
Cada parêntese da forma (ax - b) dá um zero em b/a. É por isso que fatorar resolve equações: um produto é zero exatamente quando um dos fatores é zero.
Faça a verificação você mesmo
A última linha multiplica os fatores de volta. Cubra-a, faça de cabeça e compare - esse hábito vale mais do que a resposta.
Os padrões e como reconhecê-los
Seis padrões cobrem a fatoração escolar. Conte os termos primeiro: isso elimina a maior parte da lista antes de tentar qualquer coisa.
| Padrão | Tem esta cara | Fatora como |
|---|---|---|
| Fator comum | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Diferença de quadrados | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Trinômio quadrado perfeito | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Trinômio com coeficiente 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Trinômio com coeficiente diferente de 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Agrupamento (quatro termos) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Diferença de cubos | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Soma de cubos | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Soma de quadrados | x² + 9 | does not factor |
Exemplos resolvidos
Um quadrado perfeito: 4x² - 12x + 9
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4x^2 - 12x + 94x² é (2x)², 9 é 3², e o termo do meio é exatamente -2 × 2x × 3. Isso faz dele (2x - 3)². Você também poderia tratá-lo como trinômio e obter (2x-3)(2x-3); reconhecer o quadrado poupa esse trabalho, que é a única razão de aprender padrões.
Diferença de quadrados com coeficientes: 9x² - 4
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9x^2 - 4A pegadinha é não ver, porque os quadrados não são óbvios: 9x² é (3x)² e 4 é 2². Aí o padrão se aplica como sempre e sai (3x - 2)(3x + 2). Dois termos com um menos entre eles sempre merecem essa checagem.
Fator comum primeiro: 3x² - 27
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3x^2 - 27Como está, não é diferença de quadrados - 3x² não é um quadrado. Coloque o 3 em evidência e 3(x² - 9) é, dando 3(x - 3)(x + 3). Pular o fator comum é o jeito mais comum de concluir errado que algo não fatora.
Diferença de cubos: x³ - 8
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x^3 - 8x³ - 8 é x³ - 2³, então é (x - 2)(x² + 2x + 4). O parêntese quadrático não fatora mais sobre os racionais, e a página diz isso em vez de deixar você na dúvida. Note os sinais: o parêntese linear leva o sinal do original e o quadrático alterna.
Erros comuns
- Não colocar o fator comum em evidência primeiro. Todos os outros padrões ficam mais visíveis sem ele, e alguns são invisíveis até então.
- Tentar fatorar uma soma de quadrados. x² + 4 não tem fatores racionais; só a diferença se separa.
- Perder um sinal no par do trinômio. Os dois números multiplicados dão o termo constante e somados dão o coeficiente do meio - as duas condições, sempre.
- Parar cedo demais. x⁴ - 16 vira (x² - 4)(x² + 4), e o primeiro parêntese ainda fatora em (x - 2)(x + 2).
- Esquecer que um quadrado perfeito é um parêntese ao quadrado. Escrever (2x - 3)(2x - 3) não está errado, mas (2x - 3)² é a resposta pedida.
- Cancelar em vez de fatorar. Em (x² - 9)/(x + 3) você não pode cortar o x² com o x: fatore o numerador e então o parêntese comum cancela.
Perguntas frequentes sobre fatoração
Como fatorar um polinômio?
Coloque em evidência qualquer fator comum e conte os termos. Dois: diferença de quadrados ou soma/diferença de cubos. Três: quadrado perfeito ou par de trinômio. Quatro: agrupe em pares. Depois veja se algum parêntese ainda fatora. Cada rota impressa aqui é esse procedimento aplicado uma ou duas vezes.
Como fatoro um trinômio como x² - 5x + 6?
Procure dois números cujo produto seja o termo constante e cuja soma seja o coeficiente do meio - aqui 6 e -5, ou seja -2 e -3. Os fatores são (x - 2)(x - 3). Quando o coeficiente principal não é 1, use a mesma ideia com a×c em vez de c, que é o que os passos chamam de rota ac.
E se o polinômio não fatorar?
A página diz isso claramente, e para um quadrático ou cúbico de uma letra isso é uma prova, não um dar de ombros: se não há raiz racional, não há fator racional. x² + x + 1 é um exemplo. Um quadrático que não fatora ainda se resolve pela fórmula de Bhaskara, que é outra página.
Funciona com duas letras?
Sim, para as formas pedidas na escola: fator comum (6x²y + 9xy² fica 3xy(2x + 3y)), diferença de quadrados (x² - y²) e somas e diferenças de cubos (x³ + 8y³). Se uma parte ficar com uma só letra, a rota completa de uma variável assume dali em diante.
Por que a resposta vem com uma verificação?
Porque multiplicar os fatores de volta é como se confere uma fatoração, e mostrar isso não custa nada. Também ensina o hábito que vale manter: qualquer resposta, de qualquer calculadora ou de um colega, se confere assim em dez segundos.
Fatorar é o mesmo que resolver?
Não, mas é quase tudo. Fatorar reescreve uma expressão como produto; resolver usa esse produto para achar os zeros, porque um produto é zero exatamente quando um fator é zero. A linha de zeros abaixo da resposta é esse último passo, já feito.
Posso fatorar com frações ou decimais nos coeficientes?
Sim. x²/2 - 2 fatora como ½(x - 2)(x + 2), e 0,25x² - 1 é lido como a fração exata ¼ e não como um decimal arredondado. Nada aqui é calculado em ponto flutuante, então uma fração continua fração até a resposta.
