O caso direto: 2⁵
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2^5Cinco dois multiplicados: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. É o único caso em que o expoente realmente conta fatores, e vale escrever uma vez para que os casos abaixo sejam vistos como desvios dele.
Calculadora de potências
Potências com a regra nomeada, inclusive as negativas e fracionárias.
Última atualização
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Um expoente conta fatores - até deixar de ser uma contagem
Com um expoente inteiro não há nada a explicar: 2⁵ significa cinco dois multiplicados, ou seja 32. Os casos interessantes são aqueles em que o expoente já não conta fatores, e são três: zero, negativo e fracionário. Cada um tem uma regra por trás, e todas vêm do mesmo fato - multiplicar potências de mesma base soma seus expoentes.
Zero: 2³ ÷ 2³ é 1, e subtrair os expoentes dá 2⁰, então 2⁰ tem de ser 1 - para qualquer base exceto o próprio 0. Negativo: 2³ ÷ 2⁵ é 1/4, e subtrair dá 2⁻², então um expoente negativo é um RECÍPROCO e nunca uma resposta negativa. Fracionário: 2^(1/2) vezes 2^(1/2) é 2¹, então 2^(1/2) é o que ao quadrado dá 2 - a raiz quadrada.
Tudo aqui é exato. 2⁻³ é 1/8 e não 0.125, (2/3)³ é 8/27, 9^(1/2) é exatamente 3, e 8^(1/2) fica 2√2 em vez de colapsar para 2.828. Um decimal é oferecido ao lado da resposta exata quando existe, e rotulado como aproximação quando é uma.
O que observar
- Um expoente negativo dá um recíproco, não um número negativo. 2⁻³ é 1/8 e é positivo; só uma BASE negativa pode tornar a resposta negativa.
- Zero como expoente dá 1 para toda base exceto zero. 0⁰ não tem valor acordado, e 0 com expoente negativo dividiria por zero.
- Um expoente fracionário é uma raiz: o denominador diz qual raiz e o numerador é a potência. 8^(2/3) é a raiz cúbica de 8 ao quadrado, ou seja 4.
- Uma fração elevada a uma potência eleva as duas partes. (2/3)³ é 8/27 - o denominador também é elevado ao cubo, e esse é o passo mais esquecido.
- O sinal de uma base negativa é decidido só pelo expoente: um expoente par emparelha os sinais de menos e dá resposta positiva, um ímpar deixa um sobrando.
- Os parênteses mudam tudo. (−2)⁴ é 16 mas −2⁴ é −16, porque sem parênteses a potência liga mais forte que o sinal de menos.
Como calcular uma potência
Verifique primeiro o sinal do expoente
Se for negativo, escreva o recíproco e torne o expoente positivo: 2⁻³ vira 1/2³. Fazer isso primeiro evita o erro clássico de responder −8.
Verifique se é uma fração
Um expoente fracionário é uma raiz. A parte de baixo escolhe a raiz e a de cima é a potência: x^(m/n) é a raiz n-ésima de x^m.
Trate uma base fracionária
Eleve o numerador e o denominador separadamente. (2/3)³ é 2³ sobre 3³, que dá 8/27.
Multiplique o que sobrou
Um expoente inteiro agora é só multiplicação repetida. Atenção ao sinal: um número ímpar de fatores negativos deixa uma resposta negativa.
Termine o recíproco, se havia um
Inverta o resultado que você acabou de calcular. 1/2³ é 1/8 - e confira que a resposta é menor que 1, que é o que um expoente negativo sobre base maior que 1 sempre dá.
Potências e a regra de cada uma
Os quatro casos que não são simples multiplicação repetida, ao lado dos que são.
| Potência | Regra | Resposta exata | Como decimal |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | multiplicação repetida | 32 | 32 |
| 2⁰ | qualquer base exceto 0 elevada a 0 é 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | expoente negativo é um recíproco | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | eleve o de cima e o de baixo | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | expoente fracionário é uma raiz | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | raiz simplificada, não arredondada | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | expoente par, os menos se emparelham | 16 | 16 |
| (−2)³ | expoente ímpar, sobra um menos | −8 | −8 |
Exemplos resolvidos
Um expoente negativo: 2⁻³
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2^-3Não é −8. Um expoente negativo significa recíproco: 2⁻³ é 1/2³ = 1/8. A razão é a divisão - 2² ÷ 2⁵ é 1/8, e subtrair os expoentes dá 2⁻³, então os dois têm de ser iguais. A resposta é positiva e menor que 1.
Uma fração como base: (2/3)³
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(2/3)^3As duas partes são elevadas ao cubo: 2³ sobre 3³, ou seja 8/27. Elevar só o numerador - um deslize muito comum - daria 8/3, mais de 8 vezes grande demais. Como decimal é 0.296… e nunca termina, então a fração é a resposta honesta.
Um expoente fracionário: 9^(1/2)
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9^1/2Uma potência de 1/2 é uma raiz quadrada, então isto é √9 = 3 exatamente. A razão: 9^(1/2) vezes 9^(1/2) soma os expoentes e dá 9¹, então 9^(1/2) tem de ser o número que ao quadrado dá 9.
Quando a raiz não sai: 8^(1/2)
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8^1/2√8 é irracional, então a resposta fica como radical - simplificada para 2√2 ao tirar o fator quadrado 4 para fora. O decimal 2.828… fica ao lado como aproximação, nunca em lugar dela.
O sinal de uma base negativa: (−2)⁴ e (−2)³
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(-2)^4Quatro fatores negativos se emparelham em dois produtos positivos, então (−2)⁴ = 16. Três deixam um sinal de menos sem par, então (−2)³ = −8. O expoente sozinho decide o sinal - e note que −2⁴ sem parênteses significa −(2⁴) = −16, que é outra pergunta.
Erros comuns
- Ler um expoente negativo como resposta negativa. 2⁻³ é 1/8, não −8: o sinal de menos manda a potência para o denominador, não viaja até a resposta.
- Multiplicar a base pelo expoente. 2⁵ é 32, não 10. O expoente conta fatores; não é um multiplicador.
- Elevar só o numerador de uma fração. (2/3)³ é 8/27, não 8/3 - o denominador também é elevado ao cubo.
- Tirar os parênteses de uma base negativa. (−2)⁴ é 16 enquanto −2⁴ é −16, porque a potência liga mais forte que o sinal de menos.
- Achar que 0⁰ é 1 ou 0. Não tem valor acordado; áreas diferentes escolhem convenções diferentes, e esta página recusa em vez de escolher uma.
- Arredondar uma raiz em vez de simplificá-la. 8^(1/2) é 2√2 exatamente; 2.83 é uma aproximação e deixa de servir no instante em que o valor é elevado ao quadrado outra vez.
Perguntas frequentes sobre expoentes
O que significa um expoente negativo?
Um recíproco. x⁻ⁿ é 1/xⁿ, então 2⁻³ é 1/8 - um número positivo menor que 1. Vem da divisão de potências: 2² ÷ 2⁵ é 1/8 e subtrair expoentes dá 2⁻³, então os dois têm de ser a mesma coisa.
Por que qualquer coisa elevada a zero é 1?
Porque dividir uma potência por si mesma dá 1, e subtrair os expoentes dá zero: 2³ ÷ 2³ = 1 e também = 2⁰. A única exceção é 0⁰, que não tem valor acordado - o padrão que força o 1 precisa de uma base pela qual se possa dividir.
O que significa um expoente fracionário?
Uma raiz. O denominador diz qual raiz e o numerador é uma potência: x^(1/2) é a raiz quadrada, x^(1/3) a cúbica, e x^(2/3) é a raiz cúbica de x ao quadrado. Vem da multiplicação de potências: x^(1/2) vezes x^(1/2) é x¹.
Como elevo uma fração a uma potência?
Eleve o numerador e o denominador separadamente: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Fazer só com o de cima é o erro mais comum aqui, e ele erra por um fator do denominador àquela potência.
(−2)⁴ é o mesmo que −2⁴?
Não, e vale memorizar. (−2)⁴ eleva −2 à quarta e dá +16. Sem parênteses, −2⁴ significa −(2⁴) = −16, porque a exponenciação acontece antes de o sinal de menos ser aplicado. Coloque parênteses numa base negativa sempre.
Quando uma potência de um número negativo é positiva?
Quando o expoente é par. Cada par de fatores negativos multiplica para um positivo, então uma contagem par não deixa nada negativo e uma ímpar deixa exatamente um sinal de menos. (−3)² é 9 e (−3)³ é −27.
Quanto é 2 elevado a 1/2?
A raiz quadrada de 2, que é irracional - então a resposta exata é √2 e 1.414… é apenas uma aproximação dela. Esta página guarda o radical e o simplifica quando pode: 8^(1/2) é escrito 2√2 em vez de ficar como √8.
Esta calculadora faz raízes cúbicas?
Ela avalia expoentes de raiz quadrada exatamente e potências inteiras de qualquer base, então x^(1/2) e x^(3) funcionam. Outras raízes fracionárias como x^(1/3) são o terreno que o curso de matemática da Coddy cobre com seus próprios passos de raiz, onde o desenvolvimento é o que está sendo ensinado.
