O que é a propriedade distributiva?

Ela diz que multiplicar uma soma dá o mesmo resultado que multiplicar cada parte e depois somar: a(b + c) = ab + ac. É o que permite tirar parênteses em álgebra, e é o motivo pelo qual você consegue fazer 7 × 23 de cabeça como 7 × 20 mais 7 × 3.

Por que a(b + c) = ab + ac é verdade?

Porque os dois lados são a área do mesmo retângulo. Um retângulo com a de altura e (b + c) de largura tem área a(b + c). Corte-o com uma linha vertical numa parte de largura b e outra de largura c, e as duas áreas são ab e ac. Cortar uma figura não muda o quanto de figura existe, então as duas expressões têm de ser iguais.

Como funciona com um sinal negativo?

O sinal passa para todos os termos dentro dos parênteses. Então -2(x + 3) é -2x - 6, e não -2x + 6: os dois termos ficam multiplicados por -2. É o erro mais comum com parênteses, e vale conferir sempre perguntando o que acontece quando você substitui um número.

Qual a diferença entre distribuir e fatorar?

São o mesmo fato usado em direções opostas. Distribuir vai de a(b + c) para ab + ac, tirando os parênteses. Fatorar vai de ab + ac de volta para a(b + c), colocando-os. Conseguir ler a regra ao contrário é o que torna a fatoração possível.

O método FOIL é a propriedade distributiva?

Sim — FOIL é a propriedade distributiva aplicada duas vezes. Para expandir (x + 2)(x + 3) você distribui o primeiro parêntese inteiro sobre o segundo e depois distribui de novo dentro de cada parte. FOIL é um apoio de memória para os quatro produtos que aparecem; não é uma regra separada, e é por isso que ele para de funcionar quando um parêntese tem três termos e distribuir continua funcionando.

A propriedade distributiva

a(b + c) = ab + ac normalmente é enunciada e depois repetida à exaustão. É mais fácil de lembrar depois que você viu, porque é uma imagem: um retângulo, cortado em dois.

Por Nethanel Bar, Co-founder & CEO

Última atualização 25 de agosto de 2026

Você quase certamente já usou a propriedade distributiva sem saber o nome dela. Se pedirem 7 × 23, a maioria faz 7 × 20 = 140, depois 7 × 3 = 21 e soma para chegar a 161. Isso é 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 — a regra, aplicada à aritmética.

Em álgebra ela faz o mesmo trabalho com letras, e é o motivo pelo qual parênteses podem ser tirados. Aqui está por que ela é verdade.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Cortar o retângulo não muda a área dele. Isso é toda a propriedade distributiva.

É um retângulo, cortado

Coloque os controles em a = 3, b = 4, c = 2 e olhe a figura.

O retângulo inteiro tem 3 de altura e 4 + 2 = 6 de largura, então a área dele é 3(4 + 2) = 18. O corte vertical divide o retângulo numa peça 3 por 4 e numa peça 3 por 2, com áreas 3*4 = 12 e 3*2 = 6 — e 12 + 6 é 18.

Essa é a demonstração inteira. Cortar um retângulo não muda a área dele, então a expressão de uma parte e a de duas partes precisam ser iguais, quaisquer que sejam os números. Mova os três controles e os dois totais nunca discordam.

Escrito em geral: a(b + c) = a*b + a*c.

Vale notar os rótulos dos lados, porque eles dizem qual número faz o quê. O a está fora dos parênteses e multiplica as duas peças, já que as duas têm a de altura. Nada dentro dos parênteses multiplica mais nada.

O caso negativo, onde as pessoas escorregam

Agora leve c abaixo de zero.

O segundo retângulo muda de cor e entra dentro do primeiro, porque largura negativa quer dizer que a peça está sendo retirada. Com a = 3, b = 4 e c = -2, o total é 3(4 - 2) = 6 — e as duas peças são 3*4 = 12 e menos 3*2 = 6. Doze menos seis.

Então o sinal de menos passa para o segundo termo:

a(b - c) = a*b - a*c

Esse é o erro contra o qual vale se proteger. Escrever -2(x + 3) como -2x + 6 está errado; o -2 multiplica os dois termos, dando -2x - 6. Se ficar em dúvida, substitua um número: em x = 1 a expressão original vale -2(1 + 3) = -8, e só -2x - 6 dá -8.

Usando isso para resolver algo

Tirar parênteses raramente é o objetivo em si — é um passo para deixar uma letra sozinha. Aqui está dentro de uma resolução:

Vale notar: o caminho acima não abriu os parênteses em nenhum momento, porque com 27 divisível por 3 foi mais rápido dividir os dois lados primeiro. Distribuir é uma ferramenta, não uma obrigação — expandir até 3x + 12 = 27 chega ao mesmo x = 5 por um caminho mais longo.

Lendo ao contrário

Leia a*b + a*c = a(b + c) da direita para a esquerda e você tem fatoração: perceber um fator comum a todos os termos e colocá-lo para fora. 6x + 9 vira 3(2x + 3) porque os dois termos são divisíveis por 3.

É a mesma imagem vista do outro lado: em vez de cortar um retângulo, você nota que dois retângulos têm a mesma altura e podem ser encostados.

Tente uma

Essa tem o negativo do lado de fora de propósito. Se você chegar a -1, o sinal de menos não alcançou o 3.

Perguntas frequentes

O que é a propriedade distributiva?: Ela diz que multiplicar uma soma dá o mesmo resultado que multiplicar cada parte e depois somar: a(b + c) = ab + ac. É o que permite tirar parênteses em álgebra, e é o motivo pelo qual você consegue fazer 7 × 23 de cabeça como 7 × 20 mais 7 × 3.
Por que a(b + c) = ab + ac é verdade?: Porque os dois lados são a área do mesmo retângulo. Um retângulo com a de altura e (b + c) de largura tem área a(b + c). Corte-o com uma linha vertical numa parte de largura b e outra de largura c, e as duas áreas são ab e ac. Cortar uma figura não muda o quanto de figura existe, então as duas expressões têm de ser iguais.
Como funciona com um sinal negativo?: O sinal passa para todos os termos dentro dos parênteses. Então -2(x + 3) é -2x - 6, e não -2x + 6: os dois termos ficam multiplicados por -2. É o erro mais comum com parênteses, e vale conferir sempre perguntando o que acontece quando você substitui um número.
Qual a diferença entre distribuir e fatorar?: São o mesmo fato usado em direções opostas. Distribuir vai de a(b + c) para ab + ac, tirando os parênteses. Fatorar vai de ab + ac de volta para a(b + c), colocando-os. Conseguir ler a regra ao contrário é o que torna a fatoração possível.
O método FOIL é a propriedade distributiva?: Sim — FOIL é a propriedade distributiva aplicada duas vezes. Para expandir (x + 2)(x + 3) você distribui o primeiro parêntese inteiro sobre o segundo e depois distribui de novo dentro de cada parte. FOIL é um apoio de memória para os quatro produtos que aparecem; não é uma regra separada, e é por isso que ele para de funcionar quando um parêntese tem três termos e distribuir continua funcionando.

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