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Calculadora de regressão linear

A reta de melhor ajuste pelos seus pontos, exata, com r e cada passo da resolução.

Por Nethanel Bar, Cofundador e CEO

Última atualização

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A regressão linear acha a única reta que erra os pontos pelo mínimo

Dados reais nunca ficam todos sobre uma reta, então qualquer reta que você trace por eles erra a maioria dos pontos. Cada erro é um resíduo: o y real menos o y que a reta prevê. A regressão linear eleva cada resíduo ao quadrado, soma os quadrados e escolhe a única reta que deixa esse total o menor possível. Essa é a reta de regressão por mínimos quadrados, também chamada de reta de melhor ajuste, e existe exatamente uma para qualquer conjunto de pontos cujos valores de x não sejam todos iguais.

Para achá-la bastam cinco números: a quantidade n e as somas de x, y, xy e x². A inclinação é m = (nΣxy menos ΣxΣy) dividido por (nΣx² menos (Σx)²), e o intercepto é b = (Σy menos mΣx) dividido por n. Esta página monta a tabela dessas somas, coloca seus números nas duas fórmulas e mostra cada linha da resolução, porque a tabela é a parte que o professor confere.

A inclinação e o intercepto ficam como frações exatas. Em dados feitos de inteiros, decimais e frações eles são sempre racionais, então uma inclinação de 162/35 aparece como 162/35 e não como 4,6286, que é um arredondamento dela. O coeficiente de correlação r é uma raiz quadrada, então aparece como radical com o decimal ao lado. O botão Copiar entrega a reta em decimais, pronta para uma planilha.

O que observar na reta

  • Ela sempre passa pelo ponto das médias. Para x = 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 as médias são 3 e 4, a reta é y = 0,6x + 2,2, e 0,6 × 3 + 2,2 = 4.
  • Seus resíduos sempre somam exatamente zero. Os erros acima e abaixo da reta se equilibram, e é por isso que o método os eleva ao quadrado antes de somar.
  • A inclinação tem unidade: unidades de y por unidade de x. Uma inclinação de 162/35 em horas de estudo contra nota da prova significa cerca de 4,63 pontos a mais por hora extra.
  • Trocar x e y dá outra reta, não a mesma reta rearranjada. Regredir y em x deixa pequenos os erros verticais; regredir x em y deixa pequenos os horizontais.
  • A inclinação diz quão íngreme é a tendência e r diz quão de perto os pontos a seguem. Os dois sempre têm o mesmo sinal, mas uma reta íngreme pode ter r fraco e uma reta suave pode ter r forte.
  • Dois pontos sempre dão ajuste perfeito, com r = 1 ou -1. Isso não diz nada sobre os dados; uma reta de regressão começa a significar algo com três pontos ou mais.

Como achar a reta de regressão à mão

  1. Monte a tabela

    Escreva cada ponto como uma linha com quatro colunas: x, y, xy e x². Some cada coluna e conte os pontos. Para x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 isso dá n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55.

  2. Calcule a inclinação

    m = (nΣxy menos ΣxΣy) / (nΣx² menos (Σx)²). Aqui fica (5 × 66 menos 15 × 20) / (5 × 55 menos 15²) = 30 / 50 = 0,6. Mantenha como fração se não sair um decimal curto.

  3. Calcule o intercepto

    b = (Σy menos mΣx) / n. Aqui (20 menos 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Use a inclinação exata do passo anterior, não uma arredondada.

  4. Escreva a reta e confira

    y = 0,6x + 2,2. Confira se ela passa pelo ponto das médias (3, 4): 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Se não passar, uma das somas está errada.

  5. Avalie o ajuste

    Calcule r ou olhe os resíduos. Aqui r = √15/5, cerca de 0,7746, e os resíduos são -0,8; 0,6; 1; -0,6 e -0,2, com quadrados que somam 2,4.

Retas de melhor ajuste para conjuntos pequenos

Cada linha é um conjunto de dados digitado na calculadora acima. A inclinação e o intercepto são exatos; r aparece como radical com o decimal ao lado.

Valores de xValores de yReta de melhor ajusterr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Exemplos resolvidos

O conjunto do livro

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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

As somas são Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 e Σx² = 55, com n = 5. A inclinação é 30/50 = 0,6 e o intercepto é 11/5 = 2,2, então a reta é y = 0,6x + 2,2. Os resíduos são -0,8; 0,6; 1; -0,6 e -0,2, que somam 0, e seus quadrados somam 2,4. A correlação é r = √15/5, cerca de 0,7746: forte e positiva.

Uma inclinação que é fração: horas de estudo contra nota

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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

As médias são 3,5 horas e 64 pontos. A inclinação é 162/35, cerca de 4,63 pontos por hora, e o intercepto é 64 menos (162/35) × 3,5 = 47,8, então y = (162/35)x + 47,8 com r ≈ 0,9959. Para 4,5 horas a reta prevê 2402/35, cerca de 68,63. Para 12 horas prevê cerca de 103,34 numa prova que vale 100: uma extrapolação que os dados não sustentam.

Pontos que já estão sobre uma reta

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x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Cada passo de 1 em x faz y cair 2, então os pontos ficam exatamente sobre y = -2x + 7. A calculadora encontra essa reta, todo resíduo é 0, a soma dos quadrados dos resíduos é 0 e r = -1: uma correlação negativa perfeita.

Prever dentro e fora dos dados

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x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

A reta é y = 1,45x + 0,3 com r ≈ 0,9889, e passa pelo ponto das médias (6, 9). Em x = 7, dentro dos dados, ela prevê 10,45, e essa é uma interpolação em que dá para confiar tanto quanto no ajuste. Em x = 60 ela prevê 87,3, cinquenta unidades depois do último ponto, onde nada nos dados diz que a tendência continua.

Um r forte que esconde uma curva

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x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

A reta de melhor ajuste é y = 5x - 10/3 com r ≈ 0,9599, o que parece excelente. Os resíduos são 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 e 10/3: positivos nas duas pontas e negativos no meio. Esse formato de U significa que os pontos estão sobre uma curva, e a regressão quadrática os ajusta exatamente como y = x².

Erros comuns

  • Arredondar a inclinação antes de calcular o intercepto. Com inclinação 162/35, usar 4,63 dá intercepto 47,795 em vez de 47,8. Leve a inclinação exata até o fim e arredonde uma vez só.
  • Confundir nΣx² com (Σx)². Para x = 1 a 5 o primeiro é 5 × 55 = 275 e o segundo é 15² = 225. Trocá-los muda o sinal do denominador.
  • Parear os valores fora de ordem. O primeiro x pertence ao primeiro y. Ordenar uma coluna sem a outra produz uma reta por pontos que não existem.
  • Extrapolar muito além dos dados. A reta descreve o intervalo em que foi ajustada; uma previsão bem fora dele pode errar feio mesmo com r perto de 1.
  • Tomar um r alto como prova de que uma reta é o modelo certo. Os quadrados de 0 a 25 dão r ≈ 0,96 e mesmo assim estão sobre uma curva. Olhe os resíduos.
  • Ler a inclinação como causa. Uma reta diz como y tende a variar com x nestes dados, não que mudar x mudaria y.
  • Ajustar x em função de y quando a questão pede y em função de x. As duas retas de regressão são diferentes, a menos que todos os pontos estejam sobre uma reta.

Perguntas frequentes sobre regressão linear

Como calculo uma regressão linear à mão?
Monte uma tabela com x, y, xy e x² para cada ponto e some as colunas. A inclinação é m = (nΣxy menos ΣxΣy) / (nΣx² menos (Σx)²) e o intercepto é b = (Σy menos mΣx) / n. Para x = 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 isso dá m = 30/50 = 0,6 e b = 11/5 = 2,2, então y = 0,6x + 2,2. Esta página imprime a mesma tabela e preenche as duas fórmulas para você conferir cada linha.
O que é a reta de regressão por mínimos quadrados?
A reta que deixa a soma dos quadrados dos resíduos a menor possível, sendo o resíduo o y real de um ponto menos o y que a reta prevê. Ela é única sempre que os valores de x não são todos iguais. Para os cinco pontos acima, nenhuma outra reta leva a soma dos quadrados abaixo de 2,4.
O que significam a inclinação e o intercepto?
A inclinação é quanto y varia, em média, a cada aumento de 1 em x, em unidades de y por unidade de x. O intercepto é o y previsto quando x é 0. O intercepto só tem sentido se x = 0 está dentro ou perto dos dados; uma regressão do peso pela altura tem um intercepto na altura 0 que não descreve nenhuma pessoa real.
A reta de melhor ajuste é a mesma coisa que a reta de regressão?
Sim. Em estatística, a reta de melhor ajuste é a reta de regressão por mínimos quadrados, que é o que esta calculadora calcula. Uma reta de melhor ajuste traçada a olho no papel é uma estimativa dela, e deve passar pelo ponto das médias, como a reta calculada sempre passa.
Qual é um bom r ao quadrado para uma reta de regressão?
Depende da área. r² é a parte da variação de y que a reta explica, então 0,9 significa 90%. Medições de um experimento de física controlado costumam chegar a 0,99; dados sobre pessoas muitas vezes param em 0,3 a 0,5 e ainda são úteis. Um r² alto não prova que uma reta é o formato certo, então confira os resíduos também.
Quantos pontos preciso para uma regressão linear?
Dois pontos definem uma reta, então a calculadora aceita dois, mas uma reta por dois pontos sempre se ajusta perfeitamente e não diz nada sobre os dados. Com três pontos ou mais os resíduos, r e r² começam a trazer informação, e mais pontos deixam a inclinação mais confiável.
Posso usar a reta de regressão para prever?
Dentro do intervalo dos seus valores de x, sim: isso é interpolação, e vale tanto quanto o ajuste. Fora do intervalo é extrapolação, e nada nos dados diz que a tendência continua. O exemplo das notas nesta página prevê cerca de 103 pontos para 12 horas de estudo, numa prova que vale 100.
Por que as respostas são frações e não decimais?
Porque a inclinação e o intercepto de uma reta de mínimos quadrados em dados racionais são números racionais, e a fração é o valor exato. 162/35 é a inclinação; 4,6286 é um arredondamento dela, e toda previsão feita com o arredondamento carrega o erro. O botão Copiar entrega decimais quando você precisar.

Mais ferramentas de matemática

Calculadora de qui-quadrado

Independência numa tabela de contingência ou aderência, com toda contagem esperada exata.

Calculadora de coeficiente de correlação

O r de Pearson dos seus dados, exato como radical, com a força e a resolução por trás dele.

Calculadora de regressão quadrática

A parábola de melhor ajuste pelos seus pontos, com coeficientes exatos e R².

Calculadora de regressão exponencial

A curva y = a·bˣ que se ajusta a dados de crescimento ou decaimento, com a taxa por passo.

Ilustração das linguagens de programação do Coddy

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