O clássico: √72
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sqrt(72)72 = 2³·3². Os pares são 2·2 e 3·3, que mandam para fora um 2 e um 3 e deixam um 2 dentro. Então √72 = 6√2, e elevando ao quadrado dá 36·2 = 72.
Calculadora de radicais
Simplifique, combine e racionalize radicais: a resposta é uma forma, não um decimal.
Última atualização
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A resposta de uma questão com radicais é uma forma, não um decimal
Uma calculadora vai dizer que a raiz quadrada de 72 é 8,4852814. Quase nunca é a resposta que um exercício com radicais pede. O que ele pede é 6 vezes a raiz quadrada de 2: a mesma quantidade escrita de modo que nenhuma potência perfeita fique escondida sob o sinal. Essa diferença é o assunto inteiro: simplificar um radical é reescrever, não avaliar, e um decimal joga fora justamente a exatidão que se pedia para manter.
Tudo nesta página é exato. A raiz quadrada de 72 é 6√2, a raiz cúbica de 54 é 3∛2, a raiz de dois terços é √6/3, e um sobre dois mais √3 é exatamente 2 − √3. Ao lado de cada resposta há um decimal, claramente marcado como aproximação, porque às vezes você quer mesmo saber mais ou menos o tamanho da coisa, mas ele nunca é entregue em lugar da resposta.
Três perguntas dividem esta página porque dividem uma mesma habilidade. Simplificar é encontrar a maior potência perfeita dentro do radicando. Somar diz se dois radicais são termos semelhantes, o que você não pode saber antes de simplificar os dois. Racionalizar tira uma raiz de um denominador usando a própria raiz ou o conjugado. As três se reduzem à mesma regra: a raiz de um produto é o produto das raízes.
O que observar
- Tire a MAIOR potência perfeita, não a primeira que você vê. 72 é 4 vezes 18, e parar aí deixa √18, que ainda não é a forma mais simples. Também é 36 vezes 2, e 6√2 está terminado.
- A decomposição em fatores primos é onde vive a potência perfeita. Escrito 72 como 2³·3², cada par de primos iguais é um fator que pode sair do sinal da raiz quadrada.
- Dois radicais só se somam quando os números que sobram sob os sinais são idênticos. √8 + √18 funciona, porque em segredo os dois são múltiplos de √2. √8 + √27 não, e 2√2 + 3√3 é a resposta pronta.
- Uma fração sob o sinal e uma raiz num denominador são o mesmo problema. A raiz de dois terços não está na forma mais simples; multiplicar por dentro por 3/3 a transforma em √6/3, que está.
- O índice diz qual potência sai. Sob uma raiz quadrada você precisa de pares, sob uma cúbica de trios, sob uma quarta de grupos de quatro. É por isso que a raiz cúbica de 54 dá 3, e não 6.
Como simplificar um radical à mão
Fatore o radicando em primos
Escreva o número que está sob o sinal como produto de primos. Para 72 isso é 2·2·2·3·3, ou 2³·3². Fazer isso primeiro significa nunca ter de adivinhar se há um quadrado perfeito escondido ali.
Agrupe os primos conforme o índice
Para uma raiz quadrada, junte os primos em pares; para uma cúbica, em trios. Em 72 os pares são 2·2 e 3·3, e sobra um 2 sozinho.
Cada grupo completo manda um fator para fora
Cada par contribui com uma única cópia daquele primo fora do radical. O par de 2 dá um 2 e o par de 3 dá um 3, então sai 6, e o 2 solitário fica embaixo: 6√2.
Elimine qualquer fração de baixo do sinal
Se sobrou um denominador dentro, multiplique em cima e embaixo por dentro pelo que fizer do denominador uma potência perfeita. Para dois terços, multiplique por 3/3 e obtenha 6/9, de onde sai √6/3.
Confira elevando a sua resposta ao quadrado
6√2, ao quadrado, é 36 vezes 2, que é 72. Essa conferência pega numa linha o erro mais comum: ter tirado um fator pequeno demais deixa um quadrado abaixo do radicando.
Radicais na forma mais simples
Os casos que aparecem mais, com a potência perfeita que faz o trabalho nomeada em cada um.
| Radical | Potência perfeita dentro | Forma mais simples | Aproximadamente |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | nenhuma: elimine o 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | nenhuma: racionalize | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | nenhuma: conjugado | 2 - √3 | 0.268 |
Exemplos resolvidos
Com um coeficiente na frente: 3√8
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3*sqrt(8)Simplifique primeiro o radical: √8 é 2√2. Depois multiplique os coeficientes: 3·2 = 6, então a resposta é 6√2. O coeficiente nunca entra sob o sinal.
Somar o que parece insomável: √8 + √18
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sqrt(8) + sqrt(18)Nenhum dos termos menciona √2 até você simplificar: √8 é 2√2 e √18 é 3√2. Agora são termos semelhantes, então some os coeficientes: 5√2.
Radicais não semelhantes: √8 + √27
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sqrt(8) + sqrt(27)Simplificados, são 2√2 e 3√3. Números diferentes sob os sinais significa que não são termos semelhantes, então 2√2 + 3√3 é a resposta: não sobrou nada a fazer.
Uma raiz no denominador: 3 sobre √2
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3/sqrt(2)Multiplique em cima e embaixo por √2. O valor não muda, porque √2/√2 é 1, e o denominador vira 2. A resposta é 3√2/2.
O conjugado: 1 sobre 2 + √3
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1/(2 + sqrt(3))Multiplique em cima e embaixo por 2 − √3. O denominador fica 2² − (√3)², que é 4 − 3 = 1, então o conjunto todo vale exatamente 2 − √3.
Erros comuns
- Tirar o primeiro quadrado perfeito em vez do maior. Escrever √72 como 2√18 é verdade, mas está inacabado, e é marcado como errado numa questão que pede «forma radical mais simples».
- Responder com um decimal. 8,485 não é a raiz quadrada de 72; é um arredondamento dela. Se a questão usa um sinal de raiz, a resposta mantém um, a não ser que a raiz saia exata.
- Somar os números que estão sob os sinais. √4 + √9 é 2 + 3 = 5, não √13. Raízes só se somam como termos semelhantes, nunca dentro do sinal.
- Multiplicar radicais de índices diferentes. √2 vezes ∛2 não é √2 nem ∛4: a regra do produto exige que os dois índices sejam iguais antes de você combiná-los.
- Deixar uma raiz num denominador. √2/2 e 1/√2 são o mesmo número, mas só o primeiro está na forma mais simples; o segundo ainda tem uma raiz embaixo.
- Tratar a raiz de uma soma como uma soma de raízes. A raiz de 9 + 16 é √25 = 5, não 3 + 4 = 7. A regra do produto separa produtos, não somas.
- Esquecer que uma raiz de índice par de um número negativo não é real, enquanto uma ímpar é. Não existe raiz quarta real de −16, mas a raiz cúbica de −8 é exatamente −2.
Perguntas frequentes sobre radicais
O que é forma radical mais simples?
Um radical está na forma mais simples quando o número sob o sinal não guarda nenhum fator que seja uma potência perfeita, não há fração dentro do sinal e não há radical em nenhum denominador. Então 6√2 é forma mais simples e 2√18 não, mesmo sendo o mesmo número.
Como eu simplifico uma raiz quadrada?
Fatore o radicando em primos, junte os primos em pares e mande uma cópia de cada par para fora do sinal. O que ficar sem par continua embaixo. √72 vira 6√2 porque 72 é 2³·3².
Por que não dar simplesmente o decimal?
Porque um decimal é uma aproximação e um radical é exato. √2 não tem decimal finito, então 1,414 já está errado na quarta casa; respostas de prova, a álgebra seguinte e qualquer simplificação posterior precisam da forma exata para continuarem corretas.
Quando dois radicais podem ser somados?
Só quando os números que sobram sob os sinais são iguais depois de simplificar e os índices coincidem. Então eles se comportam como x + x: some os coeficientes e mantenha o radical. √8 + √18 é 5√2; √8 + √27 não pode ser combinado de forma alguma.
Como se racionaliza um denominador?
Se o denominador é uma única raiz, multiplique em cima e embaixo por essa raiz. Se é uma soma ou diferença como 2 + √3, multiplique pelo conjugado, 2 − √3: a diferença de quadrados que aparece não tem raiz nenhuma. Nos dois casos você multiplica por 1, então o valor nunca muda.
O que é um conjugado?
Os mesmos dois termos com o sinal do meio trocado: o conjugado de 3 − 2√2 é 3 + 2√2. Multiplicar um binômio pelo conjugado dá uma diferença de quadrados, e elevar uma raiz quadrada ao quadrado a elimina, que é o que limpa o denominador.
Posso simplificar raízes cúbicas e quartas aqui?
Sim, qualquer índice de 2 a 6. A regra se generaliza: sob uma raiz cúbica você procura trios de primos iguais em vez de pares, então a raiz cúbica de 54 é 3∛2 porque 54 é 27 vezes 2.
Por que √(2/3) não é igual a √2/√3?
É igual: são o mesmo número, e nenhum dos dois está na forma mais simples. A raiz de dois terços é igual a √2/√3, e multiplicar em cima e embaixo por √3 dá √6/3, que não tem raiz no denominador e é a resposta pronta.
