El caso directo: 2⁵
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2^5Cinco doses multiplicados: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Es el único caso en que el exponente de verdad cuenta factores, y merece escribirse una vez para poder ver los de abajo como desviaciones de él.
Calculadora de potencias
Potencias con la regla nombrada, también las negativas y fraccionarias.
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Un exponente cuenta factores, hasta que deja de ser una cuenta
Con un exponente entero no hay nada que explicar: 2⁵ significa cinco doses multiplicados, o sea 32. Los casos interesantes son aquellos en que el exponente ya no cuenta factores, y son tres: cero, negativo y fraccionario. Cada uno tiene una regla detrás, y todas salen del mismo hecho: multiplicar potencias de la misma base suma sus exponentes.
Cero: 2³ ÷ 2³ es 1, y restar los exponentes da 2⁰, así que 2⁰ tiene que ser 1, para cualquier base salvo el propio 0. Negativo: 2³ ÷ 2⁵ es 1/4, y restar da 2⁻², así que un exponente negativo es un RECÍPROCO y nunca una respuesta negativa. Fraccionario: 2^(1/2) por 2^(1/2) es 2¹, así que 2^(1/2) es lo que elevado al cuadrado da 2, es decir la raíz cuadrada.
Todo aquí es exacto. 2⁻³ es 1/8 y no 0.125, (2/3)³ es 8/27, 9^(1/2) es exactamente 3 y 8^(1/2) se queda en 2√2 en lugar de colapsar a 2.828. El decimal se ofrece al lado de la respuesta exacta cuando existe, y se etiqueta como aproximación cuando lo es.
En qué fijarse
- Un exponente negativo da un recíproco, no un número negativo. 2⁻³ es 1/8 y es positivo; solo una BASE negativa puede hacer negativa una respuesta.
- El cero como exponente da 1 para toda base salvo el cero. 0⁰ no tiene valor acordado, y 0 con exponente negativo dividiría por cero.
- Un exponente fraccionario es una raíz: el denominador dice qué raíz y el numerador es la potencia. 8^(2/3) es la raíz cúbica de 8 al cuadrado, o sea 4.
- Una fracción elevada a una potencia eleva las dos partes. (2/3)³ es 8/27: el denominador también se eleva al cubo, y ese es el paso que más se salta.
- El signo de una base negativa lo decide solo el exponente: un exponente par empareja los signos menos y da respuesta positiva, uno impar deja uno suelto.
- Los paréntesis lo cambian todo. (−2)⁴ es 16 pero −2⁴ es −16, porque sin paréntesis la potencia liga más fuerte que el signo menos.
Cómo calcular una potencia
Mira primero el signo del exponente
Si es negativo, escribe el recíproco y pon el exponente positivo: 2⁻³ se convierte en 1/2³. Hacerlo primero evita el error clásico de contestar −8.
Mira si es una fracción
Un exponente fraccionario es una raíz. La parte de abajo elige la raíz y la de arriba es la potencia: x^(m/n) es la raíz n-ésima de x^m.
Atiende a una base fraccionaria
Eleva el numerador y el denominador por separado. (2/3)³ es 2³ entre 3³, o sea 8/27.
Multiplica lo que quede
Un exponente entero ya es solo multiplicación repetida. Vigila el signo: un número impar de factores negativos deja una respuesta negativa.
Termina el recíproco, si había uno
Da la vuelta al resultado que acabas de calcular. 1/2³ es 1/8, y comprueba que la respuesta sea menor que 1, que es lo que siempre da un exponente negativo con base mayor que 1.
Potencias y la regla de cada una
Los cuatro casos que no son simple multiplicación repetida, junto a los que sí lo son.
| Potencia | Regla | Respuesta exacta | Como decimal |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | multiplicación repetida | 32 | 32 |
| 2⁰ | cualquier base salvo 0 elevada a 0 es 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | el exponente negativo es un recíproco | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | eleva arriba y abajo | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | el exponente fraccionario es una raíz | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | raíz simplificada, no redondeada | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | exponente par, los menos se emparejan | 16 | 16 |
| (−2)³ | exponente impar, queda un menos | −8 | −8 |
Ejemplos resueltos
Un exponente negativo: 2⁻³
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2^-3No es −8. Un exponente negativo significa recíproco: 2⁻³ es 1/2³ = 1/8. La razón es la división: 2² ÷ 2⁵ es 1/8, y restar los exponentes da 2⁻³, así que los dos son iguales. La respuesta es positiva y menor que 1.
Una fracción como base: (2/3)³
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(2/3)^3Se elevan las dos partes al cubo: 2³ entre 3³, o sea 8/27. Elevar solo el numerador - un despiste muy común - daría 8/3, más de 8 veces mayor de lo debido. Como decimal es 0.296… y no termina, así que la fracción es la respuesta honesta.
Un exponente fraccionario: 9^(1/2)
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9^1/2Una potencia de 1/2 es una raíz cuadrada, así que esto es √9 = 3 exactamente. La razón: 9^(1/2) por 9^(1/2) suma los exponentes y da 9¹, así que 9^(1/2) tiene que ser el número que elevado al cuadrado da 9.
Cuando la raíz no sale: 8^(1/2)
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8^1/2√8 es irracional, así que la respuesta se queda como radical, simplificada a 2√2 sacando fuera el factor cuadrado 4. El decimal 2.828… va al lado como aproximación, nunca en su lugar.
El signo de una base negativa: (−2)⁴ y (−2)³
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(-2)^4Cuatro factores negativos se emparejan en dos productos positivos, así que (−2)⁴ = 16. Tres dejan un signo menos sin pareja, así que (−2)³ = −8. El exponente solo decide el signo, y ojo: −2⁴ sin paréntesis significa −(2⁴) = −16, que es otra pregunta.
Errores frecuentes
- Leer un exponente negativo como respuesta negativa. 2⁻³ es 1/8, no −8: el signo menos manda la potencia al denominador, no viaja a la respuesta.
- Multiplicar la base por el exponente. 2⁵ es 32, no 10. El exponente cuenta factores; no es un multiplicador.
- Elevar solo el numerador de una fracción. (2/3)³ es 8/27, no 8/3: el denominador también se eleva al cubo.
- Quitar los paréntesis de una base negativa. (−2)⁴ es 16 mientras −2⁴ es −16, porque la potencia liga más fuerte que el signo menos.
- Pensar que 0⁰ es 1 o 0. No tiene valor acordado; distintos campos eligen distintos convenios, y esta página se niega en lugar de elegir uno.
- Redondear una raíz en lugar de simplificarla. 8^(1/2) es 2√2 exactamente; 2.83 es una aproximación y deja de servir en cuanto el valor se vuelve a elevar al cuadrado.
Preguntas frecuentes sobre exponentes
¿Qué significa un exponente negativo?
Un recíproco. x⁻ⁿ es 1/xⁿ, así que 2⁻³ es 1/8, un número positivo menor que 1. Sale de dividir potencias: 2² ÷ 2⁵ es 1/8 y restar los exponentes da 2⁻³, así que los dos tienen que ser lo mismo.
¿Por qué cualquier cosa elevada a cero es 1?
Porque dividir una potencia por sí misma da 1, y restar los exponentes da cero: 2³ ÷ 2³ = 1 y también = 2⁰. La única excepción es 0⁰, que no tiene valor acordado: el patrón que fuerza el 1 necesita una base por la que se pueda dividir.
¿Qué significa un exponente fraccionario?
Una raíz. El denominador dice qué raíz y el numerador es una potencia: x^(1/2) es la raíz cuadrada, x^(1/3) la cúbica y x^(2/3) es la raíz cúbica de x al cuadrado. Sale de multiplicar potencias: x^(1/2) por x^(1/2) es x¹.
¿Cómo elevo una fracción a una potencia?
Eleva el numerador y el denominador por separado: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Hacerlo solo con el de arriba es el error más común aquí, y falla por el denominador elevado a esa potencia.
¿(−2)⁴ es lo mismo que −2⁴?
No, y merece memorizarse. (−2)⁴ eleva −2 a la cuarta y da +16. Sin paréntesis, −2⁴ significa −(2⁴) = −16, porque la potencia se aplica antes que el signo menos. Pon paréntesis a una base negativa siempre.
¿Cuándo es positiva una potencia de un número negativo?
Cuando el exponente es par. Cada pareja de factores negativos da un positivo, así que un recuento par no deja nada negativo y uno impar deja exactamente un signo menos. (−3)² es 9 y (−3)³ es −27.
¿Cuánto es 2 elevado a 1/2?
La raíz cuadrada de 2, que es irracional, así que la respuesta exacta es √2 y 1.414… es solo una aproximación. Esta página conserva el radical y lo simplifica cuando puede: 8^(1/2) se escribe 2√2 en lugar de dejarlo como √8.
¿Esta calculadora hace raíces cúbicas?
Evalúa exponentes de raíz cuadrada de forma exacta y potencias enteras de cualquier base, así que x^(1/2) y x^(3) van bien. Otras raíces fraccionarias como x^(1/3) son terreno del curso de matemáticas de Coddy, con sus propios pasos de raíz, donde el desarrollo es lo que se enseña.
