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Cualquier polinomio factorizado, con el nombre del patrón de cada paso.
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El curso de matemáticas de Coddy enseña el método en sí: trabajas cada paso en una pizarra interactiva y te dice exactamente dónde falló un movimiento.
Al factorizar un polinomio solo ocurren unas seis cosas: sale un factor común, una diferencia de cuadrados se separa, un cuadrado perfecto se convierte en un paréntesis al cuadrado, un trinomio se parte en dos paréntesis, cuatro términos se agrupan por parejas, o una suma o diferencia de cubos se abre. Todo lo que te pedirán factorizar en álgebra escolar es una de esas cosas, o una de ellas aplicada dos veces.
Por eso lo útil que puede decirte una calculadora no es la respuesta: es qué patrón usó y por qué ese. Aquí cada línea tiene nombre. Cuando el mismo problema aparezca en un examen no estarás intentando recordar qué dijo esta página, sino buscando el patrón al que apuntó.
Funciona de forma exacta, tanto con coeficientes enteros como fraccionarios, y se verifica a sí misma: la última línea multiplica los factores de vuelta y muestra el polinomio de partida. Esa comprobación es la respuesta a «¿cómo sé que esto está bien?», y puedes hacerla a mano con cualquier respuesta, de cualquier fuente, siempre.
Escríbelo como en papel: x^2 - 5x + 6, 4x^2 - 12x + 9, x^3 - 8. Usa ^ para las potencias. Una letra, o dos (x^2 - y^2 también funciona).
La forma factorizada está arriba. Los pasos numerados de abajo nombran el patrón usado en cada uno: esa es la parte que sirve para la siguiente pregunta.
Cada paréntesis de la forma (ax - b) da un cero en b/a. Por eso factorizar resuelve ecuaciones: un producto vale cero exactamente cuando uno de sus factores vale cero.
La última línea multiplica los factores de vuelta. Tápala, hazlo mentalmente y compara: ese hábito vale más que la respuesta.
Seis patrones cubren la factorización escolar. Cuenta primero los términos: eso elimina la mayor parte de la lista antes de intentar nada.
| Patrón | Se ve así | Se factoriza como |
|---|---|---|
| Factor común | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Diferencia de cuadrados | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Trinomio cuadrado perfecto | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Trinomio con coeficiente 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Trinomio con coeficiente distinto de 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Agrupación (cuatro términos) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Diferencia de cubos | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Suma de cubos | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Suma de cuadrados | x² + 9 | does not factor |
x^2 - 5x + 6Dos números que multiplicados dan 6 y sumados dan -5: -2 y -3. Así que es (x - 2)(x - 3). Con coeficiente principal 1 este es todo el método, y vale la pena hacer una docena hasta que la pareja salte a la vista sin buscarla.
4x^2 - 12x + 94x² es (2x)², 9 es 3², y el término central es exactamente -2 × 2x × 3. Eso lo convierte en (2x - 3)². También podrías tratarlo como trinomio y obtener (2x-3)(2x-3); reconocer el cuadrado ahorra ese trabajo, que es la única razón por la que vale la pena aprender patrones.
9x^2 - 4La trampa aquí es no verlo, porque los cuadrados no son obvios: 9x² es (3x)² y 4 es 2². Entonces el patrón se aplica como siempre y queda (3x - 2)(3x + 2). Dos términos con un menos entre ellos siempre merecen esta comprobación.
3x^2 - 27Tal como está no es una diferencia de cuadrados: 3x² no es un cuadrado. Saca el 3 y 3(x² - 9) sí lo es, dando 3(x - 3)(x + 3). Saltarse el factor común es la forma más habitual de concluir mal que algo no factoriza.
x^3 - 8x³ - 8 es x³ - 2³, así que es (x - 2)(x² + 2x + 4). El paréntesis cuadrático no factoriza más sobre los racionales, y la página lo dice en lugar de dejarte con la duda. Fíjate en los signos: el paréntesis lineal toma el signo del original y el cuadrático alterna.
