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La curva y = a·bˣ que se ajusta a datos de crecimiento o decrecimiento, con la tasa por paso.
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El curso de matemáticas de Coddy enseña el método en sí: trabajas cada paso en una pizarra interactiva y te dice exactamente dónde falló un movimiento.
Una recta suma la misma cantidad en cada paso de x. Muchas cosas se multiplican por el mismo factor: el dinero a interés compuesto, un cultivo de bacterias, la carga que le queda a una batería, la diferencia de temperatura entre una bebida que se enfría y la habitación. Ese patrón es y = a·bˣ, donde a es el valor en x = 0 y b es el factor que se aplica en cada paso. Si b es mayor que 1 la magnitud crece, si b está entre 0 y 1 decrece, y (b menos 1) en porcentaje es la tasa por paso.
La forma habitual de ajustarla es tomar el logaritmo neperiano de cada y. Si y = a·bˣ, entonces ln y = ln a + x·ln b, que es una recta en x. Así que el método ajusta una recta de mínimos cuadrados corriente a los puntos (x, ln y), lee ln b en su pendiente y ln a en su ordenada en el origen, y deshace los logaritmos. Es lo que hacen el comando ExpReg de una TI-84 y la línea de tendencia exponencial de Excel, y esta página muestra cada etapa: la columna ln y, la recta ajustada y las dos exponenciales que devuelven a y b.
Como los logaritmos son irracionales, esta es la única calculadora de regresión del conjunto cuyas respuestas son decimales redondeados en lugar de fracciones exactas, y lo indica junto al resultado. También necesita que cada y sea mayor que 0, porque el logaritmo de 0 o de un número negativo no existe. El r² que se muestra es el del ajuste lineal de ln y, que es el dato que da una calculadora gráfica.
Sustituye cada y por ln y. Para x = 0, 1, 2, 3, 4 e y = 3, 6, 12, 24, 48 la nueva columna es aproximadamente 1.0986, 1.7918, 2.4849, 3.1781 y 3.8712.
Usa las fórmulas de mínimos cuadrados habituales para la pendiente y la ordenada en el origen con los puntos (x, ln y). Aquí la pendiente es aproximadamente 0.6931 y la ordenada aproximadamente 1.0986.
La pendiente es ln b y la ordenada en el origen es ln a, así que b = e elevado a la pendiente y a = e elevado a la ordenada. Aquí b ≈ e^0.6931 = 2 y a ≈ e^1.0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, o y ≈ 3e^(0.6931x) en base e. b = 2 significa que cada paso multiplica y por 2: un crecimiento del 100% por paso y un tiempo de duplicación de exactamente un paso.
Cada fila es un conjunto de datos escrito en la calculadora de arriba. Todos los valores están redondeados a cuatro decimales.
| Valores de x | Valores de y | Curva de mejor ajuste | Cambio por paso | r² de ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Cada y es el doble de la anterior, así que los puntos están exactamente sobre y = 3·2ˣ y la calculadora devuelve a ≈ 3 y b ≈ 2, un crecimiento del 100% por paso, con r² = 1. En base e la misma curva es y ≈ 3e^(0.6931x), y 0.6931 es ln 2. Llevada hasta x = 6 predice 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Lee y como la diferencia de temperatura con la habitación, medida cada cinco minutos. El ajuste es y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ, o y ≈ 99.9517e^(-0.1991x): en cada paso desaparece alrededor del 18.05% de la diferencia, y la vida media es ln 2 / 0.1991, unos 3.48 pasos. El ajuste logarítmico es casi perfecto: r² es 0.99999 con cinco decimales, que la calculadora redondea a 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36Los valores casi se duplican en cada paso, sin hacerlo exactamente. El ajuste es y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ, un crecimiento de alrededor del 103.13% por paso, con r² ≈ 0.9999 en escala logarítmica. En base e, k ≈ 0.7087, así que el tiempo de duplicación es ln 2 / 0.7087, unos 0.98 pasos.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Un saldo de 1000 que rinde un 5% anual. La calculadora recupera y ≈ 1000 · 1.05ˣ, un cambio del +5% por paso, con r² = 1. Leer el tipo de interés a partir de una lista de saldos es justo para lo que sirve este ajuste.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Estos puntos bajan la misma cantidad en cada paso, así que están sobre una recta, y = -x + 5. Un ajuste exponencial aún devuelve y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ con r² ≈ 0.9473 en escala logarítmica, que parece aceptable. Dibuja la curva junto a los puntos y falla en los dos extremos: aquí el modelo correcto es una recta, y la regresión lineal la ajusta exactamente.
