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La parábola de mejor ajuste de tus puntos, con coeficientes exactos y R².
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El curso de matemáticas de Coddy enseña el método en sí: trabajas cada paso en una pizarra interactiva y te dice exactamente dónde falló un movimiento.
Algunos datos suben y luego bajan, o bajan y luego suben: la altura de una pelota lanzada, el beneficio a distintos precios, el combustible que gasta un coche a distintas velocidades. Una recta a través de datos así tiene la forma equivocada por bien que se coloque. La regresión cuadrática ajusta en su lugar una parábola, y = ax² + bx + c, y elige a, b y c para que los fallos verticales al cuadrado respecto a los puntos sumen lo menos posible. Es la misma idea de mínimos cuadrados que la regresión lineal, con un coeficiente más que elegir.
Minimizar los fallos al cuadrado lleva a tres ecuaciones en a, b y c, llamadas ecuaciones normales, construidas con las sumas de x, x², x³, x⁴, y, xy y x²y. Una calculadora gráfica las resuelve en coma flotante. Esta página las resuelve con fracciones exactas, así que un coeficiente de -8/7 se imprime como -8/7 y no como -1.142857, y R² también es una fracción exacta.
Debajo de la respuesta aparecen el valor predicho y el residuo de cada punto. Un buen ajuste cuadrático deja residuos que parecen ruido, repartidos por encima y por debajo de cero sin ningún patrón. Si siguen curvándose o crecen de forma constante a lo largo de la tabla, una parábola tampoco es la forma correcta y vale la pena probar otro modelo.
Para cada punto calcula x, x², x³, x⁴, y, xy y x²y, luego suma cada columna y cuenta los puntos. Para x = 0, 1, 2, 3 e y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 y Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy y aΣx² + bΣx + cn = Σy. Con las sumas de arriba: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 y 14a + 6b + 4c = 19.
Elimina una letra cada vez, manteniendo las fracciones exactas. Este sistema da a = 1.25, b = -0.45 y c = 1.05, así que y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Sustituye cada x en la curva y resta la predicción a la y real. Aquí los residuos son -0.05, 0.15, -0.15 y 0.05, sus cuadrados suman 0.05 y R² = 1214/1215, unos 0.9992.
Cada fila es un conjunto de datos escrito en la calculadora de arriba, con los coeficientes exactos y el R² que da.
| Valores de x | Valores de y | Parábola de mejor ajuste | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Las ecuaciones normales dan a = 1.25, b = -0.45 y c = 1.05, así que y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Las predicciones son 1.05, 1.85, 5.15 y 10.95, los residuos -0.05, 0.15, -0.15 y 0.05, y R² = 1214/1215, unos 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8La parábola de mejor ajuste es y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 con R² = 887/917, unos 0.9673. Como a es negativo la curva tiene un máximo, en x = 33/8 = 4.125 e y = 697/56, unos 12.45. Una recta por los mismos puntos solo llega a r² = 375/917, unos 0.4089, porque no puede girar.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Alturas en metros a intervalos de un segundo. El ajuste es exacto: y = -5x² + 20x + 2 con todos los residuos en 0 y R² = 1. El -5 es la mitad de la aceleración de la gravedad redondeada a 10 m/s², el 20 es la velocidad de lanzamiento y el 2 es la altura de lanzamiento. El máximo está en x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Son los valores de (x - 1)², y la calculadora devuelve y = x² - 2x + 1, la misma parábola desarrollada, con R² = 1 y todos los residuos en 0. Es una forma rápida de comprobar que un conjunto de valores viene de verdad de una sola función cuadrática.
