Le cas simple : 2⁵
plain
2^5Cinq 2 multipliés : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. C'est le seul cas où l'exposant compte réellement des facteurs, et il vaut la peine de l'écrire une fois pour voir les cas suivants comme des écarts à celui-ci.
Calculatrice de puissances
Des puissances avec la règle nommée, négatives et fractionnaires incluses.
Dernière mise à jour
Envie de résoudre ça sans calculatrice ?
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Un exposant compte des facteurs - jusqu'à ce qu'il cesse d'être un compte
Pour un exposant entier il n'y a rien à expliquer : 2⁵ signifie cinq 2 multipliés, soit 32. Les cas intéressants sont ceux où l'exposant ne compte plus de facteurs, et il y en a trois : nul, négatif et fractionnaire. Chacun a une règle derrière lui, et toutes découlent du même fait : multiplier des puissances de même base additionne leurs exposants.
Nul : 2³ ÷ 2³ vaut 1, et soustraire les exposants donne 2⁰, donc 2⁰ vaut nécessairement 1 - pour toute base sauf 0 lui-même. Négatif : 2³ ÷ 2⁵ vaut 1/4, et la soustraction donne 2⁻², donc un exposant négatif est un INVERSE et jamais une réponse négative. Fractionnaire : 2^(1/2) fois 2^(1/2) vaut 2¹, donc 2^(1/2) est ce qui, au carré, donne 2 - la racine carrée.
Tout est exact ici. 2⁻³ vaut 1/8 et non 0,125, (2/3)³ vaut 8/27, 9^(1/2) vaut exactement 3, et 8^(1/2) reste 2√2 au lieu de s'effondrer en 2,828. Un décimal est proposé à côté de la réponse exacte quand il en existe un, et étiqueté comme approximation quand il en est une.
Ce qu'il faut remarquer
- Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif. 2⁻³ vaut 1/8 et est positif ; seule une BASE négative peut rendre une réponse négative.
- Zéro comme exposant donne 1 pour toute base sauf zéro. 0⁰ n'a pas de valeur convenue, et 0 à une puissance négative diviserait par zéro.
- Un exposant fractionnaire est une racine : le dénominateur dit laquelle et le numérateur est la puissance. 8^(2/3) est la racine cubique de 8, au carré, soit 4.
- Une fraction élevée à une puissance élève les deux parties. (2/3)³ vaut 8/27 - le dénominateur est cubé aussi, et c'est l'étape la plus souvent sautée.
- Le signe d'une base négative est décidé par le seul exposant : un exposant pair apparie les signes moins et donne un résultat positif, un impair en laisse un.
- Les parenthèses changent tout. (−2)⁴ vaut 16 mais −2⁴ vaut −16, car sans parenthèses la puissance lie plus fort que le signe moins.
Comment calculer une puissance
Regardez d'abord le signe de l'exposant
S'il est négatif, écrivez l'inverse et rendez l'exposant positif : 2⁻³ devient 1/2³. Le faire en premier évite l'erreur classique de répondre −8.
Voyez s'il s'agit d'une fraction
Un exposant fractionnaire est une racine. Le bas choisit la racine et le haut est la puissance : x^(m/n) est la racine n-ième de x^m.
Traitez une base fractionnaire
Élevez le numérateur et le dénominateur séparément. (2/3)³ vaut 2³ sur 3³, soit 8/27.
Multipliez ce qui reste
Un exposant entier n'est plus qu'une multiplication répétée. Attention au signe : un nombre impair de facteurs négatifs laisse une réponse négative.
Terminez l'inverse, s'il y en avait un
Retournez le résultat que vous venez de calculer. 1/2³ vaut 1/8 - et vérifiez que la réponse est inférieure à 1, ce qu'un exposant négatif sur une base supérieure à 1 donne toujours.
Les puissances et la règle derrière chacune
Les quatre cas qui ne sont pas de simples multiplications répétées, à côté de ceux qui le sont.
| Puissance | Règle | Réponse exacte | En décimal |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | multiplication répétée | 32 | 32 |
| 2⁰ | toute base sauf 0 à la puissance 0 vaut 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | l'exposant négatif est un inverse | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | élever le haut et le bas | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | l'exposant fractionnaire est une racine | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | racine simplifiée, non arrondie | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | exposant pair, les moins s'apparient | 16 | 16 |
| (−2)³ | exposant impair, un moins reste | −8 | −8 |
Exemples résolus
Un exposant négatif : 2⁻³
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2^-3Pas −8. Un exposant négatif signifie un inverse : 2⁻³ vaut 1/2³ = 1/8. La raison est la division - 2² ÷ 2⁵ vaut 1/8, et soustraire les exposants donne 2⁻³, les deux doivent donc être égaux. La réponse est positive et inférieure à 1.
Une fraction comme base : (2/3)³
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(2/3)^3Les deux parties sont cubées : 2³ sur 3³, soit 8/27. Ne cuber que le numérateur - un écart très courant - donnerait 8/3, plus de 8 fois trop grand. En décimal cela vaut 0,296… et ne s'arrête jamais, donc la fraction est la réponse honnête.
Un exposant fractionnaire : 9^(1/2)
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9^1/2Une puissance 1/2 est une racine carrée, donc cela vaut √9 = 3 exactement. La raison : 9^(1/2) fois 9^(1/2) additionne les exposants et donne 9¹, donc 9^(1/2) doit être le nombre dont le carré vaut 9.
Quand la racine ne tombe pas juste : 8^(1/2)
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8^1/2√8 est irrationnel, donc la réponse reste un radical - simplifié en 2√2 en sortant le facteur carré 4. Le décimal 2,828… l'accompagne comme approximation, jamais à sa place.
Le signe d'une base négative : (−2)⁴ et (−2)³
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(-2)^4Quatre facteurs négatifs s'apparient en deux produits positifs, donc (−2)⁴ = 16. Trois laissent un signe moins sans partenaire, donc (−2)³ = −8. Le seul exposant décide du signe - et notez que −2⁴ sans parenthèses signifie −(2⁴) = −16, ce qui est une autre question.
Erreurs fréquentes
- Lire un exposant négatif comme une réponse négative. 2⁻³ vaut 1/8, pas −8 : le signe moins envoie la puissance au dénominateur, il ne voyage pas jusqu'à la réponse.
- Multiplier la base par l'exposant. 2⁵ vaut 32, pas 10. L'exposant compte des facteurs ; ce n'est pas un multiplicateur.
- N'élever que le numérateur d'une fraction. (2/3)³ vaut 8/27, pas 8/3 - le dénominateur est cubé lui aussi.
- Enlever les parenthèses autour d'une base négative. (−2)⁴ vaut 16 alors que −2⁴ vaut −16, car une puissance lie plus fort qu'un signe moins.
- Croire que 0⁰ vaut 1 ou 0. Il n'a pas de valeur convenue ; les domaines choisissent des conventions différentes, et cette page refuse plutôt que d'en choisir une.
- Arrondir une racine au lieu de la simplifier. 8^(1/2) vaut exactement 2√2 ; 2,83 est une approximation, et elle cesse d'être utile dès que la valeur est de nouveau élevée au carré.
FAQ sur les exposants
Que signifie un exposant négatif ?
Un inverse. x⁻ⁿ vaut 1/xⁿ, donc 2⁻³ vaut 1/8 - un nombre positif inférieur à 1. Cela découle de la division de puissances : 2² ÷ 2⁵ vaut 1/8 et soustraire les exposants donne 2⁻³, les deux sont donc la même chose.
Pourquoi tout nombre à la puissance zéro vaut-il 1 ?
Parce que diviser une puissance par elle-même donne 1, et soustraire les exposants donne zéro : 2³ ÷ 2³ = 1 et vaut aussi 2⁰. La seule exception est 0⁰, qui n'a pas de valeur convenue - le motif qui impose 1 exige une base par laquelle on puisse diviser.
Que signifie un exposant fractionnaire ?
Une racine. Le dénominateur dit laquelle et le numérateur est une puissance : x^(1/2) est la racine carrée, x^(1/3) la racine cubique, et x^(2/3) la racine cubique de x au carré. Cela découle du produit de puissances : x^(1/2) fois x^(1/2) vaut x¹.
Comment élever une fraction à une puissance ?
Élevez le numérateur et le dénominateur séparément : (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Ne le faire qu'en haut est l'erreur la plus fréquente ici, et elle se trompe d'un facteur égal au dénominateur à cette puissance.
(−2)⁴ est-il la même chose que −2⁴ ?
Non, et cela vaut la peine d'être mémorisé. (−2)⁴ élève −2 à la puissance quatre et donne +16. Sans parenthèses, −2⁴ signifie −(2⁴) = −16, car l'exponentiation s'applique avant le signe moins. Mettez toujours une base négative entre parenthèses.
Quand une puissance d'un nombre négatif est-elle positive ?
Quand l'exposant est pair. Chaque paire de facteurs négatifs donne un positif, donc un compte pair ne laisse rien de négatif et un compte impair laisse exactement un signe moins. (−3)² vaut 9 et (−3)³ vaut −27.
Combien vaut 2 puissance 1/2 ?
La racine carrée de 2, qui est irrationnelle - la réponse exacte est donc √2 et 1,414… n'en est qu'une approximation. Cette page garde le radical et le simplifie quand elle peut : 8^(1/2) s'écrit 2√2 plutôt que de rester √8.
Cette calculatrice fait-elle les racines cubiques ?
Oui. Un exposant fractionnaire est calculé exactement comme une racine de n'importe quel indice jusqu'à 12 : 8^(1/3) vaut 2, 16^(3/4) vaut 8 et 54^(1/3) reste 3∛2 au lieu de devenir un décimal. Une racine impaire d'une base négative fonctionne aussi ((-8)^(1/3) vaut -2) ; une racine paire d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel, et la page le dit.
