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Tout polynôme factorisé, avec le nom du schéma utilisé à chaque étape.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Quand on factorise un polynôme, il ne se passe qu'une demi-douzaine de choses : un facteur commun sort, une différence de deux carrés se sépare, un carré parfait devient une parenthèse au carré, un trinôme se coupe en deux parenthèses, quatre termes se regroupent deux par deux, ou une somme ou différence de cubes s'ouvre. Tout ce qu'on vous demandera de factoriser au lycée est l'un de ces cas, ou l'un d'eux appliqué deux fois.
Ce qu'une calculatrice a donc d'utile à dire, ce n'est pas la réponse : c'est quel schéma elle a employé et pourquoi celui-là. Ici chaque ligne est nommée. Quand le même exercice tombera à un contrôle, vous ne chercherez pas à vous rappeler ce que disait cette page, vous chercherez le schéma qu'elle a désigné.
Le calcul est exact, avec des coefficients entiers comme fractionnaires, et il se vérifie lui-même : la dernière ligne redéveloppe les facteurs et affiche le polynôme de départ. Cette vérification est la réponse à « comment savoir si c'est juste ? », et vous pouvez la faire à la main sur n'importe quelle réponse, de n'importe quelle source, toujours.
Comme sur papier : x^2 - 5x + 6, 4x^2 - 12x + 9, x^3 - 8. Utilisez ^ pour les puissances. Une lettre, ou deux (x^2 - y^2 fonctionne aussi).
La forme factorisée est en haut. Les étapes numérotées en dessous nomment le schéma employé - c'est cette partie qui sert à l'exercice suivant.
Chaque parenthèse de la forme (ax - b) donne un zéro en b/a. C'est pourquoi factoriser résout les équations : un produit est nul exactement quand l'un de ses facteurs est nul.
La dernière ligne redéveloppe les facteurs. Cachez-la, faites-le de tête, puis comparez : cette habitude vaut plus que la réponse.
Six schémas couvrent la factorisation scolaire. Comptez d'abord les termes : cela élimine l'essentiel de la liste avant tout essai.
| Schéma | Ressemble à | Se factorise en |
|---|---|---|
| Facteur commun | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Différence de carrés | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Trinôme carré parfait | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Trinôme de coefficient 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Trinôme de coefficient différent de 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Regroupement (quatre termes) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Différence de cubes | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Somme de cubes | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Somme de carrés | x² + 9 | does not factor |
x^2 - 5x + 6Deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme -5 : -2 et -3. Cela donne (x - 2)(x - 3). Avec un coefficient dominant de 1, c'est toute la méthode, et il vaut la peine d'en faire une douzaine jusqu'à ce que la paire saute aux yeux.
4x^2 - 12x + 94x² est (2x)², 9 est 3², et le terme du milieu vaut exactement -2 × 2x × 3. C'est donc (2x - 3)². On pourrait aussi le traiter comme un trinôme et obtenir (2x-3)(2x-3) ; reconnaître le carré épargne ce travail, et c'est la seule raison d'apprendre des schémas.
9x^2 - 4Le piège est de ne pas le voir, car les carrés ne sautent pas aux yeux : 9x² est (3x)² et 4 est 2². Le schéma s'applique alors comme d'habitude et donne (3x - 2)(3x + 2). Deux termes séparés par un moins méritent toujours cette vérification.
3x^2 - 27Tel quel ce n'est pas une différence de carrés - 3x² n'est pas un carré. Sortez le 3 et 3(x² - 9) en est une, ce qui donne 3(x - 3)(x + 3). Oublier le facteur commun est la façon la plus courante de conclure à tort qu'une expression ne se factorise pas.
x^3 - 8x³ - 8 est x³ - 2³, donc (x - 2)(x² + 2x + 4). La parenthèse du second degré ne se factorise pas davantage sur les rationnels, et la page le dit au lieu de vous laisser dans le doute. Attention aux signes : la parenthèse linéaire prend le signe d'origine, l'autre alterne.
