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Calculatrice de régression quadratique

La parabole d'ajustement de vos points, avec des coefficients exacts et R².

Par Nethanel Bar, Cofondateur et PDG

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La régression quadratique ajuste la parabole qui manque les points le moins possible

Certaines données montent puis descendent, ou descendent puis remontent : la hauteur d'une balle lancée, le bénéfice selon le prix de vente, la consommation d'une voiture selon sa vitesse. Une droite à travers de telles données a la mauvaise forme, aussi bien placée soit-elle. La régression quadratique ajuste plutôt une parabole, y = ax² + bx + c, et choisit a, b et c pour que la somme des carrés des écarts verticaux aux points soit la plus petite possible. C'est la même idée des moindres carrés que pour la régression linéaire, avec un coefficient de plus à choisir.

Minimiser les carrés des écarts mène à trois équations en a, b et c, appelées équations normales, construites à partir des sommes de x, x², x³, x⁴, y, xy et x²y. Une calculatrice graphique les résout en virgule flottante. Cette page les résout en fractions exactes : un coefficient de -8/7 s'affiche -8/7 et non -1,142857, et R² est lui aussi une fraction exacte.

La valeur prédite et le résidu de chaque point sont listés sous la réponse. Un bon ajustement quadratique laisse des résidus qui ressemblent à du bruit, dispersés au-dessus et au-dessous de zéro sans motif. S'ils forment encore une courbe, ou s'ils grandissent régulièrement le long du tableau, la parabole n'est pas non plus la bonne forme, et un autre modèle mérite d'être essayé.

Ce qu'il faut remarquer sur la parabole

  • Le signe de a donne la forme : a négatif ouvre la parabole vers le bas, avec un point le plus haut ; a positif l'ouvre vers le haut, avec un point le plus bas.
  • Trois points de valeurs de x différentes s'ajustent toujours exactement. Les points (1, 4), (2, 9) et (3, 20) sont sur y = 3x² - 4x + 5 avec tous les résidus nuls, ce qui ne dit rien des données.
  • Pour une parabole, R² vaut 1 moins la somme des carrés des résidus divisée par la variation totale de y. Il ne peut jamais être inférieur au r² d'une droite sur les mêmes données, car une droite est une parabole avec a = 0.
  • Le sommet de la courbe ajustée est en x = -b/(2a). Pour les données 2, 6, 11, 13, 12, 8 en x = 1 à 6, cela donne x = 33/8, où la courbe culmine à environ 12,45.
  • La courbe ajustée n'est fiable qu'entre le plus petit et le plus grand x. Au-delà des extrémités, une parabole fait demi-tour et part vers plus ou moins l'infini, quoi que fassent les données.

Comment faire une régression quadratique à la main

  1. Calculez les sommes

    Pour chaque point, calculez x, x², x³, x⁴, y, xy et x²y, puis additionnez chaque colonne et comptez les points. Pour x = 0, 1, 2, 3 et y = 1, 2, 5, 11 : n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 et Σx²y = 121.

  2. Écrivez les équations normales

    aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, et aΣx² + bΣx + cn = Σy. Avec les sommes ci-dessus : 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45, et 14a + 6b + 4c = 19.

  3. Résolvez les trois équations

    Éliminez une lettre à la fois en gardant les fractions exactes. Ce système donne a = 1,25, b = -0,45 et c = 1,05, d'où y = 1,25x² - 0,45x + 1,05.

  4. Vérifiez avec les résidus

    Remplacez chaque x dans la courbe et soustrayez la prédiction du y réel. Ici les résidus valent -0,05 ; 0,15 ; -0,15 et 0,05, la somme de leurs carrés vaut 0,05, et R² = 1214/1215, environ 0,9992.

Paraboles d'ajustement pour de petites séries

Chaque ligne est une série saisie dans la calculatrice ci-dessus, avec les coefficients exacts et le R² qu'elle affiche.

Valeurs de xValeurs de yParabole d'ajustementR²
0, 1, 2, 31, 2, 5, 11y = 1.25x² - 0.45x + 1.051214/1215 ≈ 0.9992
-2, -1, 0, 1, 2, 39, 4, 1, 0, 1, 4y = x² - 2x + 11
1, 2, 3, 4, 5, 62, 6, 11, 13, 12, 8y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7887/917 ≈ 0.9673
0, 1, 2, 3, 42, 17, 22, 17, 2y = -5x² + 20x + 21
1, 2, 34, 9, 20y = 3x² - 4x + 51
0, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 4, 9, 16, 25y = x²1

Exemples résolus

Un ajustement serré avec des coefficients décimaux

plain
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11

Les équations normales donnent a = 1,25, b = -0,45 et c = 1,05, d'où y = 1,25x² - 0,45x + 1,05. Les prédictions valent 1,05 ; 1,85 ; 5,15 et 10,95, les résidus -0,05 ; 0,15 ; -0,15 et 0,05, et R² = 1214/1215, environ 0,9992.

Des données qui montent puis descendent

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8

La parabole d'ajustement est y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 avec R² = 887/917, environ 0,9673. Comme a est négatif, la courbe a un sommet, en x = 33/8 = 4,125 et y = 697/56, environ 12,45. Une droite passant par les mêmes points n'atteint que r² = 375/917, environ 0,4089, parce qu'elle ne peut pas tourner.

Une balle lancée

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2

Des hauteurs en mètres relevées chaque seconde. L'ajustement est exact : y = -5x² + 20x + 2, avec tous les résidus nuls et R² = 1. Le -5 est la moitié de l'accélération de la pesanteur arrondie à 10 m/s², le 20 est la vitesse de lancement et le 2 la hauteur de lancement. Le sommet est en x = 2, y = 22.

Des points qui formaient déjà une parabole

plain
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4

Ce sont les valeurs de (x - 1)², et la calculatrice renvoie y = x² - 2x + 1, la même parabole développée, avec R² = 1 et tous les résidus nuls. C'est un moyen rapide de vérifier qu'une série de valeurs provient bien d'un seul polynôme du second degré.

Erreurs fréquentes

  • N'utiliser que trois points et prendre R² = 1 pour un excellent ajustement. Trois points quelconques de valeurs de x différentes sont toujours sur une parabole.
  • Arrondir les sommes ou les coefficients en cours de route. Les équations normales sont sensibles, et un petit arrondi sur Σx⁴ peut déplacer c de façon visible. Gardez les fractions jusqu'à la fin.
  • Placer les sommes aux mauvais endroits dans les équations. Le coefficient en haut à gauche est Σx⁴ et celui en bas à droite est n ; chaque ligne descend les puissances d'un cran.
  • Prédire loin des données. La parabole fait demi-tour et part vers l'infini au-delà de ses extrémités, que la grandeur réelle le fasse ou non.
  • Choisir une parabole parce que R² a augmenté. Le R² d'une parabole est toujours au moins égal au r² d'une droite sur les mêmes données ; la vraie question est de savoir si les résidus perdent leur motif.

Questions fréquentes sur la régression quadratique

Qu'est-ce que la régression quadratique ?
C'est l'ajustement d'une parabole y = ax² + bx + c à des données par les moindres carrés : on choisit a, b et c pour que la somme des carrés des distances verticales entre les points et la courbe soit la plus petite possible. C'est la méthode à utiliser quand un nuage de points monte puis descend, ou descend puis remonte, au lieu de suivre une droite.
Comment trouver l'équation de régression quadratique ?
Additionnez x, x², x³, x⁴, y, xy et x²y sur tous les points, puis résolvez les trois équations normales aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy et aΣx² + bΣx + cn = Σy. Pour x = 0, 1, 2, 3 et y = 1, 2, 5, 11, la solution est a = 1,25, b = -0,45, c = 1,05.
Combien de points faut-il pour une régression quadratique ?
Au moins trois, avec au moins trois valeurs de x différentes. Avec exactement trois, la parabole passe par tous les points et R² vaut 1 automatiquement : il faut donc quatre points ou plus pour que l'ajustement dise quelque chose des données.
Que signifie R² pour un ajustement quadratique ?
R² = 1 moins (somme des carrés des résidus) divisée par (variation totale de y autour de sa moyenne). C'est la part de la variation de y expliquée par la parabole. Pour y = 2, 6, 11, 13, 12, 8 en x = 1 à 6, R² = 887/917, environ 0,9673.
La régression quadratique est-elle une régression polynomiale ?
Oui, c'est une régression polynomiale de degré 2. Un ajustement de degré 3 ajoute un terme en x³ et une quatrième équation normale, et ainsi de suite. Un degré plus élevé colle toujours davantage aux points, mais au-delà d'un certain point il ajuste le bruit plutôt que la tendance : pour une petite série, le degré 2 est en général la limite raisonnable.
Comment trouver le sommet de la parabole ajustée ?
Comme pour toute parabole : x = -b/(2a), puis on remplace ce x dans l'équation pour obtenir y. Pour y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7, cela donne x = 33/8 et y = 697/56, environ 12,45 : c'est là que la tendance ajustée culmine.
Pourquoi les coefficients sont-ils des fractions ?
Parce que la résolution des équations normales sur des données que l'on peut saisir donne toujours des nombres rationnels, et la fraction est la réponse exacte. -8/7 est le coefficient dominant ; -1,142857 en est un arrondi. Le bouton Copier donne la courbe en décimaux pour un tableur.

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