Il classico: radice di 72
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sqrt(72)72 = 2 al cubo x 3 al quadrato. Le coppie sono 2x2 e 3x3, che portano fuori un 2 e un 3, lasciando dentro un 2. Quindi √72 = 6√2, ed elevando al quadrato si ritrova 36 x 2 = 72.
Calcolatrice radicali
Semplifica, combina e razionalizza radicali: la risposta è una forma, non un decimale.
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La risposta a un esercizio sui radicali è una forma, non un decimale
Una calcolatrice ti dirà che la radice quadrata di 72 è 8.4852814. Non è quasi mai la risposta che un esercizio sui radicali vuole. Quello che vuole è 6 per la radice quadrata di 2: la stessa quantità scritta in modo che sotto il segno non resti nascosto niente di perfetto. Tutto l'argomento sta in quella differenza: semplificare un radicale è una riscrittura, non una valutazione, e un decimale butta via l'esattezza che ti veniva chiesto di conservare.
Tutto in questa pagina è esatto. La radice quadrata di 72 è 6√2, la radice cubica di 54 è 3∛2, la radice di due terzi è √6/3, e uno fratto due più √3 è esattamente 2 − √3. Accanto a ogni risultato c'è un decimale, chiaramente indicato come approssimazione, perché a volte vuoi davvero sapere più o meno quanto è grande la cosa, ma non ti viene mai dato al posto della risposta.
Tre domande condividono questa pagina perché condividono una sola abilità. Semplificare significa trovare la potenza perfetta più grande dentro il radicando. Sommare ti dice se due radicali sono simili, cosa che non puoi sapere finché non li hai semplificati entrambi. Razionalizzare sposta una radice fuori da un denominatore usando la radice stessa o il coniugato. Tutte e tre si riducono alla stessa regola: la radice di un prodotto è il prodotto delle radici.
Cosa notare
- Porta fuori il quadrato perfetto PIÙ GRANDE, non il primo che vedi. 72 è 4 per 18, e fermarsi lì lascia √18, che non è ancora la forma più semplice. È anche 36 per 2, e 6√2 è finito.
- La scomposizione in fattori primi è dove si trova la potenza perfetta. Una volta scritto 72 come 2 al cubo per 3 al quadrato, ogni coppia di primi uguali è un fattore che può uscire dal segno di radice quadrata.
- Due radicali si sommano solo quando i numeri rimasti sotto i segni sono identici. √8 più √18 funziona, perché sono entrambi multipli nascosti di √2. √8 più √27 no, e 2√2 più 3√3 è la risposta finita.
- Una frazione sotto il segno e una radice al denominatore sono lo stesso problema. La radice di due terzi non è in forma semplice; moltiplicare dentro per 3 su 3 la trasforma in √6/3, che lo è.
- L'indice dice quale potenza esce. Sotto una radice quadrata servono coppie, sotto una cubica terne, sotto una quarta gruppi di quattro. Ecco perché la radice cubica di 54 dà 3, non 6.
Come semplificare un radicale a mano
Scomponi il radicando in fattori primi
Scrivi il numero sotto il segno come prodotto di primi. Per 72 è 2 x 2 x 2 x 3 x 3, cioè 2 al cubo per 3 al quadrato. Farlo per prima cosa significa non dover mai indovinare se lì dentro si nasconde un quadrato perfetto.
Raggruppa i primi secondo l'indice
Per una radice quadrata raccogli i primi a coppie; per una cubica, a terne. In 72 le coppie sono 2 x 2 e 3 x 3, e un 2 resta da solo.
Per ogni gruppo completo un fattore esce dal segno
Ogni coppia porta fuori dal radicale una sola copia di quel primo. La coppia di 2 dà un 2 e la coppia di 3 dà un 3, quindi esce 6, e il 2 rimasto solo resta sotto: 6√2.
Togli le frazioni da sotto il segno
Se dentro resta un denominatore, moltiplica numeratore e denominatore interni per ciò che rende il denominatore una potenza perfetta. Per due terzi, moltiplica per 3 su 3 e ottieni 6 su 9, da cui esce √6/3.
Verifica elevando al quadrato il risultato
6√2 al quadrato fa 36 per 2, cioè 72. Questa verifica scopre in una riga l'errore più comune: portare fuori un fattore troppo piccolo lascia un quadrato che non arriva al radicando.
Radicali nella forma più semplice
I casi più frequenti, con indicata in ciascuno la potenza perfetta che fa il lavoro.
| Radicale | Potenza perfetta dentro | Forma più semplice | Circa |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | nessuna: togli il 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | nessuna: razionalizza | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | nessuna: coniugato | 2 - √3 | 0.268 |
Esempi svolti
Un coefficiente davanti: 3 per radice di 8
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3*sqrt(8)Prima semplifica il radicale: √8 è 2√2. Poi moltiplica i coefficienti: 3 x 2 = 6, quindi il risultato è 6√2. Il coefficiente non va mai sotto il segno.
Sommare ciò che sembra impossibile: √8 + √18
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sqrt(8) + sqrt(18)Nessuno dei due termini mostra √2 finché non semplifichi: √8 è 2√2 e √18 è 3√2. Ora sono radicali simili, quindi somma i coefficienti: 5√2.
Radicali non simili: √8 + √27
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sqrt(8) + sqrt(27)Semplificati, sono 2√2 e 3√3. Numeri diversi sotto i segni significano che non sono simili, quindi 2√2 + 3√3 è la risposta: non resta altro da fare.
Una radice al denominatore: 3 fratto radice di 2
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3/sqrt(2)Moltiplica numeratore e denominatore per √2. Il valore non cambia, perché √2 su √2 fa 1, e il denominatore diventa 2. Il risultato è 3√2 fratto 2.
Il coniugato: 1 fratto 2 più radice di 3
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1/(2 + sqrt(3))Moltiplica numeratore e denominatore per 2 meno √3. Il denominatore diventa 2 al quadrato meno √3 al quadrato, cioè 4 - 3 = 1, quindi il tutto è esattamente 2 - √3.
Errori comuni
- Portare fuori il primo quadrato perfetto invece del più grande. Scrivere √72 come 2√18 è vero ma incompleto, e come risposta a «forma radicale più semplice» è sbagliato.
- Rispondere con un decimale. 8.485 non è la radice quadrata di 72; ne è un arrotondamento. Se l'esercizio usa il segno di radice, il risultato lo mantiene, a meno che la radice non venga intera.
- Sommare i numeri sotto i segni. √4 più √9 fa 2 + 3 = 5, non √13. Le radici si sommano solo come radicali simili, mai dentro il segno.
- Moltiplicare radicali con indici diversi. √2 per la radice cubica di 2 non è √2 né la radice cubica di 4: la regola del prodotto richiede che i due indici coincidano prima di poterli combinare.
- Lasciare una radice al denominatore. √2 fratto 2 e 1 fratto √2 sono lo stesso numero, ma solo il primo è in forma più semplice; il secondo ha ancora una radice al piano di sotto.
- Trattare la radice di una somma come somma di radici. La radice di 9 + 16 è √25 = 5, non 3 + 4 = 7. La regola del prodotto separa i prodotti, non le somme.
- Dimenticare che una radice di indice pari di un numero negativo non è reale, mentre una di indice dispari sì. Non esiste una radice quarta reale di -16, ma la radice cubica di -8 è esattamente -2.
Domande frequenti sui radicali
Cos'è la forma radicale più semplice?
Un radicale è nella forma più semplice quando il numero sotto il segno non contiene più fattori che siano potenze perfette, non c'è una frazione dentro il segno e non c'è un radicale al denominatore. Quindi 6√2 è in forma più semplice e 2√18 no, anche se sono lo stesso numero.
Come si semplifica una radice quadrata?
Scomponi il radicando in fattori primi, raggruppa i primi a coppie e porta fuori dal segno una copia di ogni coppia. Ciò che resta spaiato rimane sotto. √72 diventa 6√2 perché 72 è 2 al cubo per 3 al quadrato.
Perché non dare semplicemente il decimale?
Perché un decimale è un'approssimazione e un radicale è esatto. √2 non ha un decimale finito, quindi 1.414 è già sbagliato alla quarta cifra; le risposte d'esame, l'algebra successiva e qualsiasi semplificazione successiva hanno bisogno della forma esatta per restare corrette.
Quando si possono sommare due radicali?
Solo quando, dopo averli semplificati, i numeri rimasti sotto i segni sono uguali e gli indici coincidono. Allora si comportano esattamente come x + x: somma i coefficienti e tieni il radicale. √8 più √18 fa 5√2; √8 più √27 non si può combinare affatto.
Come si razionalizza un denominatore?
Se il denominatore è una sola radice, moltiplica numeratore e denominatore per quella radice. Se è una somma o differenza come 2 più √3, moltiplica per il suo coniugato, 2 meno √3: la differenza di quadrati che ne risulta non contiene radici. In entrambi i casi stai moltiplicando per 1, quindi il valore non cambia mai.
Cos'è un coniugato?
Gli stessi due termini con il segno tra loro invertito: il coniugato di 3 meno 2√2 è 3 più 2√2. Moltiplicare un binomio per il suo coniugato dà una differenza di quadrati, ed elevare al quadrato una radice quadrata la elimina: è questo che libera il denominatore.
Posso semplificare qui radici cubiche e quarte?
Sì, qualsiasi indice da 2 a 6. La regola si generalizza: sotto una radice cubica cerchi terne di primi uguali invece di coppie, quindi la radice cubica di 54 è 3∛2 perché 54 è 27 per 2.
Perché √(2/3) non è uguale a √2/√3?
Lo è: sono lo stesso numero, e nessuno dei due è in forma più semplice. La radice quadrata della frazione 2/3 è uguale a √2 diviso √3, e moltiplicando numeratore e denominatore per √3 si ottiene √6 fratto 3, che non ha radici al denominatore ed è la risposta finita.
