Der Klassiker: Katheten 3 und 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, und √25 = 5 genau. Das ist das 3-4-5-Dreieck, das kleinste mit drei ganzen Seiten, und es lohnt sich, es auf Anhieb zu erkennen - ebenso seine Vielfachen 6-8-10 und 9-12-15.
Satz-des-Pythagoras-Rechner
Zwei Seiten am gezeichneten Dreieck geben die dritte, exakt mit Wurzeln.
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Die Quadrate der Katheten ergeben das Quadrat der Hypotenuse
In einem rechtwinkligen Dreieck, und nur dort, gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist: die Seite gegenüber dem rechten Winkel und immer die längste der drei. Die Aussage handelt von FLÄCHEN: baue über jede der beiden kürzeren Seiten ein Quadrat, und ihre gemeinsame Fläche ist genau die Fläche des Quadrats über der längsten. Deshalb wird alles quadriert, und deshalb braucht die Antwort am Ende eine Wurzel.
In welche Richtung gerechnet wird, hängt davon ab, welche Seite fehlt - und dort wohnen fast alle Fehler. Suchst du die Hypotenuse, ADDIERST du die beiden Quadrate. Suchst du eine Kathete, SUBTRAHIERST du: a² = c² − b², denn das Quadrat der Hypotenuse ist die Summe und das der bekannten Kathete nur ein Teil davon. Addieren statt subtrahieren liefert eine Antwort größer als die Hypotenuse, was unmöglich ist - eine brauchbare Kontrolle.
Die Antworten hier sind exakt. Die Hypotenuse eines Dreiecks mit Katheten 2 und 3 ist √13, und √13 gibt diese Seite an - mit 3,6056 daneben, gekennzeichnet als die Rundung, die es ist. √20 wird zu 2√5 vereinfacht statt stehen gelassen, und ein Dreieck mit drei ganzzahligen Seiten wird als das pythagoreische Tripel markiert, das es ist.
Worauf es ankommt
- Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. In jedem anderen sind a² + b² und c² einfach zwei verschiedene Zahlen - dort ist der Kosinussatz die allgemeine Fassung.
- c ist immer die längste Seite. Kommt deine Hypotenuse kleiner als eine Kathete heraus, wurde irgendwo eine Addition zur Subtraktion.
- Eine Kathete zu finden ist eine Subtraktion. a² = c² − b² folgt direkt aus dem Satz und ist der Fall, der viel häufiger schiefgeht als die Hypotenuse.
- Die meisten Antworten sind irrational. Dreiecke mit drei ganzen Seiten - 3-4-5, 5-12-13 - sind die Ausnahme, weshalb die Wurzelform wichtig ist.
- Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist ab/2: die beiden Katheten multipliziert und halbiert. Die Hypotenuse spielt keine Rolle, denn die Katheten treffen sich schon im rechten Winkel.
- Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder ein Tripel. 3-4-5 mal 3 ergibt 9-12-15, weshalb dieselben Dreiecke in Aufgaben immer wieder auftauchen.
So findet man die fehlende Seite
Bestimme die Hypotenuse
Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste der drei. Hier falsch zu liegen macht jeden folgenden Schritt falsch - also benenne sie, bevor du rechnest.
Entscheide: addieren oder subtrahieren
Fehlt die Hypotenuse: addiere die Quadrate der Katheten. Fehlt eine Kathete: subtrahiere das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse.
Quadriere die bekannten Seiten
Erst quadrieren, dann addieren oder subtrahieren. Nach dem Addieren zu quadrieren - (a + b)² - ist eine andere und viel größere Zahl.
Zieh die Wurzel
Das hebt das Quadrieren auf und gibt die Seite selbst. Geht sie nicht auf, vereinfache die Wurzel statt zur Dezimalzahl zu greifen: √20 ist 2√5.
Prüfe die Größenordnung
Die Hypotenuse muss länger sein als jede Kathete und kürzer als ihre Summe. Verletzt deine Antwort eine der beiden Regeln, wurden Addition und Subtraktion vertauscht.
Rechtwinklige Dreiecke auf einen Blick
Die Tripel, die man kennen sollte, und was passiert, wenn die Antwort nicht aufgeht. Die exakte Spalte ist die Antwort; die Dezimalzahl ist eine Rundung davon.
| a | b | c | Exakt | Dezimal |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Gerechnete Beispiele
Eine irrationale Hypotenuse: Katheten 2 und 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13, die Hypotenuse ist also √13. Das ist die Antwort - 3,6056 ist eine Rundung davon, und 3,6056 quadriert ergibt 12,9999… statt 13. Die meisten rechtwinkligen Dreiecke sind so; die mit ganzen Seiten sind die Ausnahme.
Die Wurzel vereinfachen: Katheten 2 und 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20, und √20 bleibt nicht stehen: 20 = 4 · 5, und die 4 tritt als 2 aus der Wurzel heraus, also 2√5. Dieselbe Zahl - und die Form, die jedes Bewertungsschema erwartet.
Eine Kathete finden: Hypotenuse 5, andere Kathete 4
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b = 4, c = 5Erst umstellen: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, also a = 3. Addieren hätte √41 ≈ 6,4 ergeben, länger als die Hypotenuse - unmöglich, und genau die Kontrolle, die diesen Fehler sofort auffliegen lässt.
Gebrochene Seiten: 3/2 und 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, und die Wurzel aus 25/4 ist genau 5/2. Brüche bleiben durchweg Brüche, deshalb lautet die Antwort 5/2 und nicht 2,5 - auch wenn es hier dieselbe Zahl ist.
Häufige Fehler
- Addieren, wenn die fehlende Seite eine Kathete ist. Das Quadrat der Hypotenuse ist die SUMME, eine Kathete zu finden heißt also, davon abzuziehen.
- Die Summe quadrieren statt die Quadrate zu summieren. a² + b² ist nicht (a + b)²; letzteres ist um 2ab größer, was bei einem echten Dreieck nie null ist.
- Die falsche Seite als Hypotenuse bezeichnen. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber, nicht einfach zuletzt gezeichnet oder rechts.
- Die Wurzel vergessen. 3² + 4² = 25 ist das Quadrat der Antwort, nicht die Antwort: die Hypotenuse ist 5, nicht 25.
- Den Satz auf ein Dreieck ohne rechten Winkel anwenden. Er gilt nur für rechtwinklige; alles andere braucht den Kosinussatz.
- Die Wurzel zu früh runden. √13 quadriert ist genau 13, aber 3,61 quadriert ist 13,0321 - und in einer mehrschrittigen Aufgabe wächst dieser Fehler.
Häufige Fragen zum Satz des Pythagoras
Was besagt der Satz des Pythagoras?
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei a und b die beiden kürzeren Seiten (Katheten) sind und c die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel. Als Flächen gelesen: die Quadrate über den Katheten haben zusammen genau die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.
Wie finde ich die Hypotenuse?
Quadriere beide Katheten, addiere sie und zieh die Wurzel: c = √(a² + b²). Für 3 und 4 ist das √25 = 5. Geht die Wurzel nicht auf, behalte sie als vereinfachte Wurzel - √20 wird 2√5.
Und wie finde ich eine Kathete?
Durch Subtrahieren, nicht Addieren: a² = c² − b², also a = √(c² − b²). Bei Hypotenuse 5 und Kathete 4 ist das √(25 − 16) = 3. Das ist der Fall, der am häufigsten schiefgeht, und die Kontrolle lautet: eine Kathete muss immer kürzer sein als die Hypotenuse.
Was ist ein pythagoreisches Tripel?
Drei ganze Zahlen, die den Satz erfüllen: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eines, 6-8-10 und 9-12-15 kommen also gratis mit 3-4-5. Die meisten rechtwinkligen Dreiecke sind KEINE Tripel, weshalb irrationale Antworten die Regel sind.
Gilt der Satz für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige. Für alle anderen ist die allgemeine Aussage der Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), der sich genau dann auf den Satz des Pythagoras reduziert, wenn C 90° beträgt und sein Kosinus null ist.
Warum behält diese Seite Wurzeln statt Dezimalzahlen?
Weil die Wurzel die exakte Antwort ist und die Dezimalzahl eine Rundung davon. √13 quadriert ist genau 13; 3,61 quadriert ist 13,0321. In einer mehrschrittigen Aufgabe summiert sich dieser Unterschied, und die meisten Bewertungen wollen ohnehin die exakte Form.
Wie prüfe ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Teste den Satz an den drei Seiten: gilt a² + b² genau c², mit c als längster Seite, hat das Dreieck einen rechten Winkel. Ist die linke Seite größer, ist der Winkel spitz; ist sie kleiner, stumpf. Das ist die Umkehrung des Satzes und eine wirklich brauchbare Kontrolle.
Nimmt der Rechner Brüche und Dezimalzahlen?
Ja, und beide bleiben exakt. Katheten von 3/2 und 2 ergeben eine Hypotenuse von genau 5/2, und eine eingegebene Dezimalzahl wird als der exakte Bruch gelesen, den sie benennt, nicht als Gleitkomma-Näherung.
