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Gleichungslöser

Jede Gleichung, gelöst mit jedem Schritt so benannt, wie der Unterricht ihn nennt.

Von Nethanel Bar, Co-founder & CEO

Zuletzt aktualisiert

Willst du das ohne Rechner lösen können?

Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.

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Nach x auflösen ist eine Folge von Schritten, kein Trick

Jede Gleichung der Schulalgebra wird gleich gelöst: Man macht auf beiden Seiten dasselbe, immer wieder, bis der Buchstabe allein steht. Was sich von Aufgabe zu Aufgabe ändert, ist der jeweils nächste Schritt - und nur das ist überhaupt lernenswert. Ein Ergebnis allein lehrt davon nichts.

Deshalb zeigt dieser Löser die Schritte. Jede Zeile sagt, was getan wurde - „Subtrahiere 7 auf beiden Seiten“, „Teile in Fälle auf“, „Über Kreuz multiplizieren“ - und zeigt dann die Gleichung, die dabei entstanden ist. Die Namen sind nicht für diese Seite erfunden: es sind dieselben, die der Coddy-Mathekurs auf seiner interaktiven Tafel benutzt, denn Rechner und Kurs laufen auf einer Engine.

Er wählt den Weg außerdem so, wie eine Lehrkraft ihn wählen würde, und nicht so, wie ein Computer es täte. Faktorisieren schlägt die Lösungsformel überall dort, wo Faktorisieren geht, weil es kürzer ist und weil man es von Hand so machen würde. Die Zahl der gezeigten Schritte ist die Zahl der Schritte, die die Aufgabe wirklich kostet.

Worauf man in den Schritten achten sollte

  • Lies die Namen der Schritte, nicht nur die Zeilen. Wer sagen kann, warum ein Schritt gewählt wurde, löst die nächste Aufgabe ohne diese Seite.
  • Achte darauf, wo die Gleichung aufhört, von x zu handeln, und zum reinen Rechnen wird. An dieser Übergabe verlieren die meisten ein Vorzeichen.
  • Eine faktorisierbare quadratische Gleichung wird hier faktorisiert, nicht mit der Formel gelöst. Beides ist richtig; eines ist kürzer, und zu wissen welches, ist eine Fähigkeit.
  • Die Ergebnisse bleiben exakt. 7/2 ist das Ergebnis, 3,5 ist eine Dezimalzahl davon - bei einer Bruchaufgabe wird der Unterschied gewertet.
  • „Keine Lösung“ und „jede Zahl passt“ sind echte Antworten, keine Fehler. Eine Gleichung, die sich zu 1 = 2 reduziert, hat keine Lösung; eine, die sich zu 1 = 1 reduziert, hat alle.

So benutzt du den Gleichungslöser

  1. Gleichung eintippen

    So, wie du sie auf Papier schreiben würdest: 2x + 3 = 11, x^2 - 5x + 6 = 0, (x+1)/(x-2) = 3. ^ für Potenzen, sqrt(...) für Wurzeln, |x| für den Betrag.

  2. Wähle den Buchstaben, nach dem aufgelöst wird

    Bei mehr als einem Buchstaben erscheint eine Knopfreihe. So stellt man eine Formel um: A = l w eingeben, l wählen, und es kommt l = A/w heraus.

  3. Erst das Ergebnis lesen, dann den Weg

    Das Ergebnis steht oben, weil die meisten dafür gekommen sind. Die nummerierten Schritte darunter sind der Teil, den man zweimal lesen sollte.

  4. Mit der eigenen Rechnung vergleichen

    Wenn etwas anderes herauskam, ist die nützliche Frage nicht, welche Zahl stimmt, sondern in welcher Zeile ihr auseinandergegangen seid. Finde die Zeile, und der Fehler erklärt sich meist selbst.

Was er lösen kann

Ein Löser, und er wählt die Methode selbst, statt danach zu fragen. Das sind die Formen, die er erkennt, und der erste Schritt, den er auf jede anwendet.

Art der GleichungBeispielWie er beginnt
Linear3x + 7 = 22Konstante herüberbringen, dann teilen
Unbekannte auf beiden Seiten5x - 4 = 3x + 6Zuerst alle x auf eine Seite
Klammern2(x - 3) = 4x + 1Teilen oder ausmultiplizieren, je nachdem was kürzer ist
Quadratischx² - 5x + 6 = 0Faktorisieren, wenn es geht, sonst die Lösungsformel
Brüche und rationale(x+1)/(x-2) = 3Über Kreuz multiplizieren, dann den Rest lösen
Betrag|x - 1| = 4In die beiden Fälle aufteilen, für die die Striche stehen
Wurzel√(x + 3) = 5Beide Seiten quadrieren, dann auf Scheinlösungen prüfen
Systeme2x + y = 5; x - y = 1Eine Unbekannte eliminieren, dann zurücksetzen
Ungleichungen3x + 2 > 11Dieselben Schritte, mit Zeichenwechsel beim negativen Teilen
Formeln (Variablen)A = l wBuchstaben wählen, er wird freigestellt

Gerechnete Beispiele

Eine lineare Gleichung: 3x + 7 = 22

plain
3x + 7 = 22

Zwei Schritte. Die 7 geht auf die andere Seite, es bleibt 3x = 15, und Teilen durch 3 ergibt x = 5. Beachte: der Löser macht nicht „7 auf beiden Seiten subtrahieren“ und „durch 3 teilen“ als zwei getrennte Zeremonien, sondern benennt jeden Schritt nach dem, was er bewirkt - so, wie man es laut sagen würde.

Unbekannte auf beiden Seiten: 5x - 4 = 3x + 6

plain
5x - 4 = 3x + 6

Die erste Aufgabe ist, alle x auf eine Seite zu bringen. Danach ist es wieder das vorige Beispiel. Diese Form überzeugt Lernende zum ersten Mal davon, dass Algebra ein Verfahren ist und kein Rätsel, und es lohnt sich, ein Dutzend davon zu rechnen, bis der erste Schritt automatisch kommt.

Eine faktorisierbare quadratische: x² - 5x + 6 = 0

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x^2 - 5x + 6 = 0

Faktorisieren ergibt (x - 3)(x - 2) = 0, und der Satz vom Nullprodukt teilt das in zwei Fälle, jeder eine lineare Gleichung mit einem Schritt. Die Lösungsformel würde auch funktionieren und vier Zeilen mehr brauchen - genau deshalb benutzt der Löser sie hier nicht.

Eine Formel umstellen: A = l w nach l

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A = l w

Wähle l in der Zeile „Auflösen nach“, und der Löser bringt w herüber: l = A/w. Das ist dieselbe Mechanik wie das Auflösen nach x, und das zu bemerken ist einer der nützlichsten Momente im ersten Algebrakurs: eine Formel ist bloß eine Gleichung, deren Buchstaben Namen haben.

Häufige Fehler

  • Etwas nur auf einer Seite tun. Jeder Schritt hier wirkt auf beide Seiten; sobald das nicht mehr stimmt, ist es nicht mehr dieselbe Gleichung.
  • Beim Multiplizieren oder Teilen durch eine negative Zahl das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen. -2x > 6 ergibt x < -3, nicht x > -3.
  • Bei einer quadratischen Gleichung eine Lösung verlieren. (x - 3)(x - 2) = 0 hat zwei Antworten, und nur die erste aufzuschreiben ist der häufigste Weg, die halbe Punktzahl zu verlieren.
  • Eine Wurzelgleichung quadrieren und nicht nachprüfen. Quadrieren kann Lösungen erfinden, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen; sie müssen getestet und verworfen werden.
  • Über eine Summe hinweg kürzen. In (2x + 4)/2 werden beide Summanden durch 2 geteilt, also x + 2 und niemals 2x + 2.
  • „Keine Lösung“ für einen Fehler halten. Manche Gleichungen haben wirklich keine, und das zu erkennen ist die Antwort und kein Scheitern.

Häufige Fragen zum Gleichungslöser

Wie löst man nach x auf?
Indem man rückgängig macht, was mit x geschieht - eine Operation nach der anderen, und jedes Mal auf beiden Seiten dasselbe. Von außen nach innen: zuerst Addition und Subtraktion, dann Multiplikation und Division, dann Potenzen und Wurzeln. Wenn x allein steht, ist die andere Seite das Ergebnis. Jeder Weg, den dieser Löser druckt, ist diese eine Idee, wieder und wieder angewendet.
Ist der Rechenweg wirklich kostenlos?
Ja, und ohne Anmeldung. Das ist erwähnenswert, weil die beiden bekanntesten Schritt-für-Schritt-Matheseiten ein Ergebnis zeigen und dann ein Abo verlangen, um den Weg dahin zu sehen. Hier steht der Weg einfach auf der Seite: er ist der Teil, der etwas beibringt, ihn hinter eine Zahlung zu stellen würde den Sinn zerstören.
Was kann er lösen?
Lineare Gleichungen, Gleichungen mit der Unbekannten auf beiden Seiten, mit Klammern, mit Brüchen und rationale Gleichungen, quadratische Gleichungen, Betragsgleichungen, Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen mit gleicher Basis, Gleichungssysteme, Ungleichungen und Doppelungleichungen sowie Formeln, die nach einem ihrer Buchstaben umgestellt werden.
Warum hat er faktorisiert statt die Formel zu benutzen?
Weil Faktorisieren kürzer ist, wo es geht, und der Löser seinen Weg wählt wie eine Lehrkraft und nicht wie ein Computer. Bei einer quadratischen Gleichung, die nicht sauber faktorisiert, greift er zur Formel und schreibt sie Schritt für Schritt aus.
Kann er eine Formel umstellen statt eine Gleichung zu lösen?
Ja - dafür ist die Zeile „Auflösen nach“ da. Formel eingeben, den Buchstaben wählen, der allein stehen soll, und der Löser stellt ihn frei. v = u + at nach t umzustellen ist genau dieselbe Arbeit wie 3x + 7 = 22 nach x zu lösen, und das ausgeschrieben zu sehen ist oft der Moment, in dem es klickt.
Was bedeutet „keine Lösung“?
Dass die Gleichung sich selbst widerspricht. x + 1 = x + 2 reduziert sich zu 1 = 2, und kein Wert von x repariert das, also gibt es keine Lösung. Der umgekehrte Fall kommt auch vor: 2(x + 1) = 2x + 2 reduziert sich zu 1 = 1, das heißt jede Zahl passt.
Zeigt er Dezimalzahlen?
Er zeigt exakte Werte, denn das ist das Ergebnis. 7/2 bleibt 7/2, und √12 wird zu 2√3 statt zu 3,464. Eine Dezimalzahl ist eine Rundung des Ergebnisses, und bei einer Aufgabe über Brüche oder Wurzeln zählt eine Rundung als falsch.

Weitere Mathe-Werkzeuge

Rechner für quadratische Gleichungen

Löse jede quadratische Gleichung mit allen Schritten und exakten Werten.

Faktorisieren-Rechner

Jedes Polynom faktorisiert, mit dem Namen des Musters hinter jedem Schritt.

Vereinfachen-Rechner

Terme vereinfachen, ausmultiplizieren oder faktorisieren - Schritt für Schritt.

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