La propiedad distributiva
a(b + c) = ab + ac suele enunciarse y después repetirse mil veces. Es más fácil de recordar cuando la has visto, porque es una imagen: un rectángulo, cortado en dos.
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Es casi seguro que has usado la propiedad distributiva sin que te dijeran su nombre. Si te piden 7 × 23, la mayoría hace 7 × 20 = 140, después 7 × 3 = 21 y suma para llegar a 161. Eso es 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3: la regla, aplicada a la aritmética.
En álgebra hace el mismo trabajo con letras, y es la razón por la que los paréntesis se pueden quitar. Aquí está por qué es verdad.
Cortar el rectángulo no cambia su área. Eso es toda la propiedad distributiva.
Es un rectángulo, cortado
Pon los deslizadores en a = 3, b = 4, c = 2 y mira la figura.
El rectángulo completo tiene altura 3 y anchura 4 + 2 = 6, así que su área es 3(4 + 2) = 18. El corte vertical lo divide en una pieza de 3 por 4 y otra de 3 por 2, con áreas 3*4 = 12 y 3*2 = 6, y 12 + 6 es 18.
Esa es toda la demostración. Cortar un rectángulo no cambia su área, así que la expresión de una parte y la de dos partes tienen que ser iguales, sean los números que sean. Mueve los tres deslizadores y los dos totales nunca discrepan.
Escrito en general: a(b + c) = a*b + a*c.
Merece la pena fijarse en las etiquetas de los lados, porque dicen qué número hace qué. La a está fuera del paréntesis y multiplica a las dos piezas, porque las dos tienen altura a. Nada de lo que hay dentro del paréntesis multiplica a nada más.
El caso negativo, que es donde se resbala la gente
Ahora baja c por debajo de cero.
El segundo rectángulo cambia de color y se mete dentro del primero, porque una anchura negativa significa que la pieza se está quitando. Con a = 3, b = 4 y c = -2, el total es 3(4 - 2) = 6, y las dos piezas son 3*4 = 12 y menos 3*2 = 6. Doce menos seis.
Así que el signo menos pasa al segundo término:
a(b - c) = a*b - a*c
Este es el error del que conviene protegerse. Escribir -2(x + 3) como -2x + 6 está mal; el -2 multiplica a los dos términos y da -2x - 6. Si alguna vez dudas, sustituye un número: en x = 1 la expresión original vale -2(1 + 3) = -8, y solo -2x - 6 da -8.
Usarla para resolver algo
Quitar paréntesis casi nunca es el objetivo en sí: es un paso para dejar sola una letra. Aquí está dentro de una resolución:
Merece la pena notarlo: el camino de arriba no desarrolló el paréntesis en absoluto, porque al ser 27 divisible por 3 era más rápido dividir los dos lados primero. Distribuir es una herramienta, no una obligación: desarrollar hasta 3x + 12 = 27 llega al mismo x = 5 por un camino más largo.
Leerla al revés
Lee a*b + a*c = a(b + c) de derecha a izquierda y tienes factorizar: detectar un factor común a todos los términos y sacarlo delante. 6x + 9 pasa a ser 3(2x + 3) porque los dos términos son divisibles por 3.
Es la misma imagen mirada del otro lado: en vez de cortar un rectángulo, te das cuenta de que dos rectángulos tienen la misma altura y se pueden juntar.
Prueba una
Esa lleva el negativo fuera a propósito. Si te sale -1, el signo menos no llegó al 3.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la propiedad distributiva?
- Dice que multiplicar una suma da el mismo resultado que multiplicar cada parte y después sumar: a(b + c) = ab + ac. Es lo que permite quitar paréntesis en álgebra, y es la razón por la que puedes hacer 7 × 23 de cabeza como 7 × 20 más 7 × 3.
- ¿Por qué a(b + c) = ab + ac es verdad?
- Porque los dos lados son el área del mismo rectángulo. Un rectángulo de altura a y anchura (b + c) tiene área a(b + c). Córtalo con una línea vertical en una parte de anchura b y otra de anchura c, y las dos áreas son ab y ac. Cortar una figura no cambia cuánta figura hay, así que las dos expresiones tienen que ser iguales.
- ¿Cómo funciona con un signo negativo?
- El signo pasa a todos los términos del paréntesis. Así que -2(x + 3) es -2x - 6, no -2x + 6: los dos términos quedan multiplicados por el -2. Es el error más común con los paréntesis y conviene comprobarlo cada vez preguntándose qué pasa al sustituir un número.
- ¿Qué diferencia hay entre distribuir y factorizar?
- Son el mismo hecho usado en direcciones opuestas. Distribuir va de a(b + c) a ab + ac, quitando paréntesis. Factorizar va de ab + ac de vuelta a a(b + c), poniéndolos. Poder leer la regla al revés es lo que hace posible factorizar.
- ¿El método FOIL es la propiedad distributiva?
- Sí: FOIL es la propiedad distributiva aplicada dos veces. Para desarrollar (x + 2)(x + 3) distribuyes el primer paréntesis entero sobre el segundo y después vuelves a distribuir dentro de cada parte. FOIL es una regla mnemotécnica para los cuatro productos que salen; no es una regla aparte, y por eso deja de funcionar cuando un paréntesis tiene tres términos y distribuir sigue funcionando.
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