¿Qué es la propiedad distributiva?

Dice que multiplicar una suma da el mismo resultado que multiplicar cada parte y después sumar: a(b + c) = ab + ac. Es lo que permite quitar paréntesis en álgebra, y es la razón por la que puedes hacer 7 × 23 de cabeza como 7 × 20 más 7 × 3.

¿Por qué a(b + c) = ab + ac es verdad?

Porque los dos lados son el área del mismo rectángulo. Un rectángulo de altura a y anchura (b + c) tiene área a(b + c). Córtalo con una línea vertical en una parte de anchura b y otra de anchura c, y las dos áreas son ab y ac. Cortar una figura no cambia cuánta figura hay, así que las dos expresiones tienen que ser iguales.

¿Cómo funciona con un signo negativo?

El signo pasa a todos los términos del paréntesis. Así que -2(x + 3) es -2x - 6, no -2x + 6: los dos términos quedan multiplicados por el -2. Es el error más común con los paréntesis y conviene comprobarlo cada vez preguntándose qué pasa al sustituir un número.

¿Qué diferencia hay entre distribuir y factorizar?

Son el mismo hecho usado en direcciones opuestas. Distribuir va de a(b + c) a ab + ac, quitando paréntesis. Factorizar va de ab + ac de vuelta a a(b + c), poniéndolos. Poder leer la regla al revés es lo que hace posible factorizar.

¿El método FOIL es la propiedad distributiva?

Sí: FOIL es la propiedad distributiva aplicada dos veces. Para desarrollar (x + 2)(x + 3) distribuyes el primer paréntesis entero sobre el segundo y después vuelves a distribuir dentro de cada parte. FOIL es una regla mnemotécnica para los cuatro productos que salen; no es una regla aparte, y por eso deja de funcionar cuando un paréntesis tiene tres términos y distribuir sigue funcionando.

La propiedad distributiva

a(b + c) = ab + ac suele enunciarse y después repetirse mil veces. Es más fácil de recordar cuando la has visto, porque es una imagen: un rectángulo, cortado en dos.

Por Nethanel Bar, Cofundador y CEO

Última actualización 25 de agosto de 2026

Es casi seguro que has usado la propiedad distributiva sin que te dijeran su nombre. Si te piden 7 × 23, la mayoría hace 7 × 20 = 140, después 7 × 3 = 21 y suma para llegar a 161. Eso es 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3: la regla, aplicada a la aritmética.

En álgebra hace el mismo trabajo con letras, y es la razón por la que los paréntesis se pueden quitar. Aquí está por qué es verdad.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Cortar el rectángulo no cambia su área. Eso es toda la propiedad distributiva.

Es un rectángulo, cortado

Pon los deslizadores en a = 3, b = 4, c = 2 y mira la figura.

El rectángulo completo tiene altura 3 y anchura 4 + 2 = 6, así que su área es 3(4 + 2) = 18. El corte vertical lo divide en una pieza de 3 por 4 y otra de 3 por 2, con áreas 3*4 = 12 y 3*2 = 6, y 12 + 6 es 18.

Esa es toda la demostración. Cortar un rectángulo no cambia su área, así que la expresión de una parte y la de dos partes tienen que ser iguales, sean los números que sean. Mueve los tres deslizadores y los dos totales nunca discrepan.

Escrito en general: a(b + c) = a*b + a*c.

Merece la pena fijarse en las etiquetas de los lados, porque dicen qué número hace qué. La a está fuera del paréntesis y multiplica a las dos piezas, porque las dos tienen altura a. Nada de lo que hay dentro del paréntesis multiplica a nada más.

El caso negativo, que es donde se resbala la gente

Ahora baja c por debajo de cero.

El segundo rectángulo cambia de color y se mete dentro del primero, porque una anchura negativa significa que la pieza se está quitando. Con a = 3, b = 4 y c = -2, el total es 3(4 - 2) = 6, y las dos piezas son 3*4 = 12 y menos 3*2 = 6. Doce menos seis.

Así que el signo menos pasa al segundo término:

a(b - c) = a*b - a*c

Este es el error del que conviene protegerse. Escribir -2(x + 3) como -2x + 6 está mal; el -2 multiplica a los dos términos y da -2x - 6. Si alguna vez dudas, sustituye un número: en x = 1 la expresión original vale -2(1 + 3) = -8, y solo -2x - 6 da -8.

Usarla para resolver algo

Quitar paréntesis casi nunca es el objetivo en sí: es un paso para dejar sola una letra. Aquí está dentro de una resolución:

Merece la pena notarlo: el camino de arriba no desarrolló el paréntesis en absoluto, porque al ser 27 divisible por 3 era más rápido dividir los dos lados primero. Distribuir es una herramienta, no una obligación: desarrollar hasta 3x + 12 = 27 llega al mismo x = 5 por un camino más largo.

Leerla al revés

Lee a*b + a*c = a(b + c) de derecha a izquierda y tienes factorizar: detectar un factor común a todos los términos y sacarlo delante. 6x + 9 pasa a ser 3(2x + 3) porque los dos términos son divisibles por 3.

Es la misma imagen mirada del otro lado: en vez de cortar un rectángulo, te das cuenta de que dos rectángulos tienen la misma altura y se pueden juntar.

Prueba una

Esa lleva el negativo fuera a propósito. Si te sale -1, el signo menos no llegó al 3.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la propiedad distributiva?: Dice que multiplicar una suma da el mismo resultado que multiplicar cada parte y después sumar: a(b + c) = ab + ac. Es lo que permite quitar paréntesis en álgebra, y es la razón por la que puedes hacer 7 × 23 de cabeza como 7 × 20 más 7 × 3.
¿Por qué a(b + c) = ab + ac es verdad?: Porque los dos lados son el área del mismo rectángulo. Un rectángulo de altura a y anchura (b + c) tiene área a(b + c). Córtalo con una línea vertical en una parte de anchura b y otra de anchura c, y las dos áreas son ab y ac. Cortar una figura no cambia cuánta figura hay, así que las dos expresiones tienen que ser iguales.
¿Cómo funciona con un signo negativo?: El signo pasa a todos los términos del paréntesis. Así que -2(x + 3) es -2x - 6, no -2x + 6: los dos términos quedan multiplicados por el -2. Es el error más común con los paréntesis y conviene comprobarlo cada vez preguntándose qué pasa al sustituir un número.
¿Qué diferencia hay entre distribuir y factorizar?: Son el mismo hecho usado en direcciones opuestas. Distribuir va de a(b + c) a ab + ac, quitando paréntesis. Factorizar va de ab + ac de vuelta a a(b + c), poniéndolos. Poder leer la regla al revés es lo que hace posible factorizar.
¿El método FOIL es la propiedad distributiva?: Sí: FOIL es la propiedad distributiva aplicada dos veces. Para desarrollar (x + 2)(x + 3) distribuyes el primer paréntesis entero sobre el segundo y después vuelves a distribuir dentro de cada parte. FOIL es una regla mnemotécnica para los cuatro productos que salen; no es una regla aparte, y por eso deja de funcionar cuando un paréntesis tiene tres términos y distribuir sigue funcionando.