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Calculadora de regresión lineal

La recta de mejor ajuste de tus puntos, exacta, con r y cada paso del desarrollo.

Por Nethanel Bar, Cofundador y CEO

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La regresión lineal encuentra la única recta que menos se aleja de los puntos

Los datos reales nunca caen sobre una sola recta, así que cualquier recta que traces entre ellos falla la mayoría de los puntos. Cada fallo es un residuo: la y real menos la y que predice la recta. La regresión lineal eleva al cuadrado cada residuo, suma los cuadrados y elige la única recta que hace ese total lo más pequeño posible. Esa es la recta de regresión por mínimos cuadrados, también llamada recta de mejor ajuste, y hay exactamente una para cualquier conjunto de puntos cuyos valores de x no sean todos iguales.

Para encontrarla hacen falta cinco números: el recuento n y las sumas de x, y, xy y x². La pendiente es m = (nΣxy menos ΣxΣy) dividido entre (nΣx² menos (Σx)²), y la ordenada en el origen es b = (Σy menos mΣx) dividido entre n. Esta página construye la tabla de esas sumas, sustituye tus números en las dos fórmulas y muestra cada línea del desarrollo, porque la tabla es la parte que revisa el profesor.

La pendiente y la ordenada en el origen se mantienen como fracciones exactas. Con datos formados por enteros, decimales y fracciones siempre son racionales, así que una pendiente de 162/35 se imprime como 162/35 y no como 4.6286, que es un redondeo. El coeficiente de correlación r es una raíz cuadrada, así que aparece como radical con su decimal al lado. El botón Copiar te da la recta en decimales, lista para una hoja de cálculo.

En qué fijarse en la recta

  • Siempre pasa por el punto de las medias. Para x = 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 las medias son 3 y 4, la recta es y = 0.6x + 2.2, y 0.6 × 3 + 2.2 = 4.
  • Sus residuos siempre suman exactamente cero. Los fallos por encima y por debajo de la recta se compensan, y por eso el método los eleva al cuadrado antes de sumarlos.
  • La pendiente tiene unidades: unidades de y por cada unidad de x. Una pendiente de 162/35 en horas de estudio frente a nota del examen significa unos 4.63 puntos más por cada hora extra.
  • Intercambiar x e y da otra recta, no la misma recta despejada. La regresión de y sobre x hace pequeños los fallos verticales; la de x sobre y, los horizontales.
  • La pendiente dice cuánto se inclina la tendencia y r dice con qué fidelidad la siguen los puntos. Siempre tienen el mismo signo, pero una recta empinada puede tener un r débil y una recta suave uno fuerte.
  • Dos puntos siempre dan un ajuste perfecto con r = 1 o -1. Eso no dice nada de los datos; una recta de regresión empieza a significar algo con tres puntos o más.

Cómo hallar la recta de regresión a mano

  1. Haz la tabla

    Escribe cada punto como una fila con cuatro columnas: x, y, xy y x². Suma cada columna y cuenta los puntos. Para x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 eso da n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 y Σx² = 55.

  2. Calcula la pendiente

    m = (nΣxy menos ΣxΣy) / (nΣx² menos (Σx)²). Aquí es (5 × 66 menos 15 × 20) / (5 × 55 menos 15²) = 30 / 50 = 0.6. Déjala como fracción si no sale un decimal corto.

  3. Calcula la ordenada en el origen

    b = (Σy menos mΣx) / n. Aquí (20 menos 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Usa la pendiente exacta del paso anterior, no una redondeada.

  4. Escribe la recta y compruébala

    y = 0.6x + 2.2. Comprueba que pasa por el punto de las medias (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Si no pasa, alguna de las sumas está mal.

  5. Valora el ajuste

    Calcula r o mira los residuos. Aquí r = √15/5, unos 0.7746, y los residuos son -0.8, 0.6, 1, -0.6 y -0.2, con cuadrados que suman 2.4.

Rectas de mejor ajuste para conjuntos de datos pequeños

Cada fila es un conjunto de datos escrito en la calculadora de arriba. La pendiente y la ordenada en el origen son exactas; r aparece como radical con su decimal.

Valores de xValores de yRecta de mejor ajusterr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Ejemplos resueltos

El conjunto de libro

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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Las sumas son Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 y Σx² = 55 con n = 5. La pendiente es 30/50 = 0.6 y la ordenada en el origen es 11/5 = 2.2, así que la recta es y = 0.6x + 2.2. Los residuos son -0.8, 0.6, 1, -0.6 y -0.2, que suman 0, y sus cuadrados suman 2.4. La correlación es r = √15/5, unos 0.7746: fuerte y positiva.

Una pendiente fraccionaria: horas de estudio frente a nota

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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Las medias son 3.5 horas y 64 puntos. La pendiente es 162/35, unos 4.63 puntos por hora, y la ordenada en el origen es 64 menos (162/35) × 3.5 = 47.8, así que y = (162/35)x + 47.8 con r ≈ 0.9959. Para 4.5 horas la recta predice 2402/35, unos 68.63. Para 12 horas predice unos 103.34 en un examen sobre 100: una extrapolación que los datos no pueden respaldar.

Puntos que ya están en una recta

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x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Cada paso de 1 en x baja y en 2, así que los puntos están exactamente sobre y = -2x + 7. La calculadora encuentra esa recta, todos los residuos son 0, la suma de los residuos al cuadrado es 0 y r = -1: una correlación negativa perfecta.

Predecir dentro y fuera de los datos

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x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

La recta es y = 1.45x + 0.3 con r ≈ 0.9889, y pasa por el punto de las medias (6, 9). En x = 7, dentro de los datos, predice 10.45, y esa es una interpolación en la que puedes confiar tanto como en el ajuste. En x = 60 predice 87.3, cincuenta unidades más allá del último punto, donde nada en los datos dice que la tendencia se mantenga.

Un r alto que esconde una curva

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x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

La recta de mejor ajuste es y = 5x - 10/3 con r ≈ 0.9599, que suena excelente. Los residuos son 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 y 10/3: positivos en los dos extremos y negativos en el centro. Esa forma de U significa que los puntos están sobre una curva, y la regresión cuadrática los ajusta exactamente como y = x².

Errores frecuentes

  • Redondear la pendiente antes de calcular la ordenada en el origen. Con una pendiente de 162/35, usar 4.63 da una ordenada de 47.795 en lugar de 47.8. Arrastra la pendiente exacta y redondea una sola vez al final.
  • Confundir nΣx² con (Σx)². Para x = 1 a 5 el primero es 5 × 55 = 275 y el segundo es 15² = 225. Intercambiarlos cambia el signo del denominador.
  • Emparejar los valores en otro orden. La primera x va con la primera y. Ordenar una columna sin la otra produce una recta que pasa por puntos que no existen.
  • Extrapolar muy lejos de los datos. La recta describe el intervalo en el que se ajustó; una predicción muy fuera de ese intervalo puede fallar por mucho aunque r esté cerca de 1.
  • Tomar un r alto como prueba de que una recta es el modelo correcto. Los cuadrados de 0 a 25 dan r ≈ 0.96 y aun así están sobre una curva. Mira los residuos.
  • Leer la pendiente como una causa. Una recta dice cómo tiende a cambiar y con x en estos datos, no que cambiar x vaya a cambiar y.
  • Ajustar x sobre y cuando la pregunta pide y sobre x. Las dos rectas de regresión son distintas salvo que todos los puntos estén en una misma recta.

Preguntas frecuentes sobre la regresión lineal

¿Cómo se calcula una regresión lineal a mano?
Haz una tabla con x, y, xy y x² para cada punto y suma las columnas. La pendiente es m = (nΣxy menos ΣxΣy) / (nΣx² menos (Σx)²) y la ordenada en el origen es b = (Σy menos mΣx) / n. Para x = 1 a 5 e y = 2, 4, 5, 4, 5 eso da m = 30/50 = 0.6 y b = 11/5 = 2.2, así que y = 0.6x + 2.2. Esta página imprime la misma tabla y rellena las dos fórmulas para que compruebes cada línea.
¿Qué es la recta de regresión por mínimos cuadrados?
La recta que hace lo más pequeña posible la suma de los residuos al cuadrado, donde un residuo es la y real de un punto menos la y que predice la recta. Es única siempre que los valores de x no sean todos iguales. Para los cinco puntos de arriba ninguna otra recta baja la suma de cuadrados de 2.4.
¿Qué significan la pendiente y la ordenada en el origen?
La pendiente es cuánto cambia y, en promedio, por cada aumento de 1 en x, en unidades de y por unidad de x. La ordenada en el origen es la y predicha cuando x vale 0. Solo tiene sentido si x = 0 está dentro de los datos o cerca; una regresión del peso sobre la altura tiene una ordenada en altura 0 que no describe a ninguna persona real.
¿La recta de mejor ajuste es lo mismo que la recta de regresión?
Sí. En estadística la recta de mejor ajuste es la recta de regresión por mínimos cuadrados, que es lo que calcula esta calculadora. Una recta de mejor ajuste trazada a ojo sobre papel es una estimación de ella, y debería pasar por el punto de las medias, como hace siempre la recta calculada.
¿Qué r al cuadrado es bueno para una recta de regresión?
Depende del campo. r² es la proporción de la variación de y que explica la recta, así que 0.9 significa el 90%. Las mediciones de un experimento de física controlado suelen llegar a 0.99; los datos sobre personas a menudo se quedan en 0.3 a 0.5 y siguen siendo útiles. Un r² alto no demuestra que una recta sea la forma correcta, así que revisa también los residuos.
¿Cuántos puntos necesito para una regresión lineal?
Dos puntos definen una recta, así que la calculadora acepta dos, pero una recta por dos puntos siempre ajusta a la perfección y no dice nada de los datos. Con tres puntos o más los residuos, r y r² empiezan a aportar información, y más puntos hacen más fiable la pendiente.
¿Puedo usar la recta de regresión para predecir?
Dentro del intervalo de tus valores de x, sí: eso es interpolación, y es tan buena como el ajuste. Fuera del intervalo es extrapolación, y nada en los datos dice que la tendencia continúe. El ejemplo de las notas de esta página predice unos 103 puntos para 12 horas de estudio, en un examen sobre 100.
¿Por qué las respuestas son fracciones y no decimales?
Porque la pendiente y la ordenada en el origen de una recta de mínimos cuadrados con datos racionales son números racionales, y la fracción es el valor exacto. 162/35 es la pendiente; 4.6286 es un redondeo, y cada predicción hecha con el redondeo arrastra el error. El botón Copiar te da decimales cuando los necesitas.

Más herramientas de matemáticas

Calculadora de chi-cuadrado

Independencia en una tabla de contingencia o bondad de ajuste, con cada recuento esperado exacto.

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