El clásico: √72
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sqrt(72)72 = 2³·3². Las parejas son 2·2 y 3·3, que mandan fuera un 2 y un 3 y dejan un 2 dentro. Así que √72 = 6√2, y al elevarlo al cuadrado da 36·2 = 72.
Calculadora de radicales
Simplifica, combina y racionaliza radicales: la respuesta es una forma, no un decimal.
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La respuesta a una pregunta con radicales es una forma, no un decimal
Una calculadora te dirá que la raíz cuadrada de 72 es 8,4852814. Casi nunca es la respuesta que pide un ejercicio con radicales. Lo que pide es 6 por la raíz cuadrada de 2: la misma cantidad escrita de modo que no quede escondida ninguna potencia perfecta bajo el signo. Esa diferencia es todo el tema: simplificar un radical es reescribirlo, no evaluarlo, y un decimal tira por la ventana la exactitud que se te pedía conservar.
Todo en esta página es exacto. La raíz cuadrada de 72 es 6√2, la raíz cúbica de 54 es 3∛2, la raíz de dos tercios es √6/3, y uno partido por dos más √3 es exactamente 2 − √3. Junto a cada respuesta se ofrece un decimal, claramente marcado como aproximación, porque a veces sí quieres saber más o menos cuánto mide la cosa, pero nunca se te entrega en lugar de la respuesta.
Tres preguntas comparten esta página porque comparten una destreza. Simplificar consiste en encontrar la mayor potencia perfecta dentro del radicando. Sumar te dice si dos radicales son términos semejantes, algo que no puedes saber hasta haberlos simplificado. Racionalizar saca una raíz de un denominador usando la propia raíz o el conjugado. Las tres se reducen a la misma regla: la raíz de un producto es el producto de las raíces.
Qué conviene observar
- Saca la MAYOR potencia perfecta, no la primera que veas. 72 es 4 por 18, y quedarse ahí deja √18, que todavía no es la forma más simple. También es 36 por 2, y 6√2 ya está terminado.
- La descomposición en factores primos es donde vive la potencia perfecta. Una vez escrito 72 como 2³·3², cada pareja de primos iguales es un factor que puede salir del signo de la raíz cuadrada.
- Dos radicales se suman solo si los números que quedan bajo sus signos son idénticos. √8 + √18 funciona, porque en secreto los dos son múltiplos de √2. √8 + √27 no, y 2√2 + 3√3 es la respuesta terminada.
- Una fracción bajo el signo y una raíz en un denominador son el mismo problema. La raíz de dos tercios no está en su forma más simple; multiplicar por dentro por 3/3 la convierte en √6/3, que sí lo está.
- El índice dice qué potencia sale. Bajo una raíz cuadrada necesitas parejas, bajo una cúbica tríos, bajo una cuarta grupos de cuatro. Por eso la raíz cúbica de 54 da 3 y no 6.
Cómo simplificar un radical a mano
Descompón el radicando en primos
Escribe el número que está bajo el signo como producto de primos. Para 72 es 2·2·2·3·3, o 2³·3². Hacer esto primero significa que nunca tendrás que adivinar si hay un cuadrado perfecto escondido.
Agrupa los primos según el índice
Para una raíz cuadrada, reúne los primos en parejas; para una cúbica, en tríos. En 72 las parejas son 2·2 y 3·3, y sobra un 2 solo.
Por cada grupo completo sale un factor
Cada pareja aporta una sola copia de ese primo fuera del radical. La pareja de 2 da un 2 y la de 3 da un 3, así que sale 6, y el 2 solitario se queda debajo: 6√2.
Quita cualquier fracción de debajo del signo
Si queda un denominador dentro, multiplica arriba y abajo por dentro por lo que haga del denominador una potencia perfecta. Para dos tercios, multiplica por 3/3 y obtén 6/9, de donde sale √6/3.
Comprueba elevando tu respuesta al cuadrado
6√2, al cuadrado, es 36 por 2, que es 72. Esa comprobación caza en una línea el error más común: haber sacado un factor demasiado pequeño deja un cuadrado por debajo del radicando.
Radicales en su forma más simple
Los casos que más aparecen, con la potencia perfecta que hace el trabajo nombrada en cada uno.
| Radical | Potencia perfecta dentro | Forma más simple | Aproximadamente |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | ninguna: quita el 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | ninguna: racionaliza | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | ninguna: conjugado | 2 - √3 | 0.268 |
Ejemplos resueltos
Con un coeficiente delante: 3√8
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3*sqrt(8)Simplifica primero el radical: √8 es 2√2. Luego multiplica los coeficientes: 3·2 = 6, así que la respuesta es 6√2. El coeficiente nunca entra bajo el signo.
Sumar lo que parece insumable: √8 + √18
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sqrt(8) + sqrt(18)Ninguno de los dos términos menciona √2 hasta que simplificas: √8 es 2√2 y √18 es 3√2. Ahora son términos semejantes, así que suma los coeficientes: 5√2.
Radicales no semejantes: √8 + √27
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sqrt(8) + sqrt(27)Simplificados, son 2√2 y 3√3. Números distintos bajo los signos significa que no son términos semejantes, así que 2√2 + 3√3 es la respuesta: no queda nada por hacer.
Una raíz en el denominador: 3 partido por √2
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3/sqrt(2)Multiplica arriba y abajo por √2. El valor no cambia, porque √2/√2 es 1, y el denominador se convierte en 2. La respuesta es 3√2/2.
El conjugado: 1 partido por 2 + √3
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1/(2 + sqrt(3))Multiplica arriba y abajo por 2 − √3. El denominador queda como 2² − (√3)², que es 4 − 3 = 1, así que todo el conjunto vale exactamente 2 − √3.
Errores frecuentes
- Sacar el primer cuadrado perfecto en lugar del mayor. Escribir √72 como 2√18 es cierto pero está sin terminar, y se marca mal como respuesta a «forma radical más simple».
- Responder con un decimal. 8,485 no es la raíz cuadrada de 72; es un redondeo de ella. Si la pregunta usa un signo de raíz, la respuesta conserva uno salvo que la raíz salga exacta.
- Sumar los números que están bajo los signos. √4 + √9 es 2 + 3 = 5, no √13. Las raíces se suman solo como términos semejantes, nunca dentro del signo.
- Multiplicar radicales de índices distintos. √2 por ∛2 no es √2 ni ∛4: la regla del producto exige que los dos índices coincidan antes de poder combinarlos.
- Dejar una raíz en un denominador. √2/2 y 1/√2 son el mismo número, pero solo el primero está en su forma más simple; el segundo todavía tiene una raíz abajo.
- Tratar la raíz de una suma como una suma de raíces. La raíz de 9 + 16 es √25 = 5, no 3 + 4 = 7. La regla del producto separa productos, no sumas.
- Olvidar que una raíz de índice par de un número negativo no es real, mientras que una impar sí. No existe la raíz cuarta real de −16, pero la raíz cúbica de −8 es exactamente −2.
Preguntas frecuentes sobre radicales
¿Qué es la forma radical más simple?
Un radical está en su forma más simple cuando el número bajo el signo no conserva ningún factor que sea una potencia perfecta, no hay ninguna fracción dentro del signo y no hay ningún radical en un denominador. Así que 6√2 es la forma más simple y 2√18 no, aunque sean el mismo número.
¿Cómo simplifico una raíz cuadrada?
Descompón el radicando en primos, reúne los primos en parejas y manda una copia de cada pareja fuera del signo. Lo que quede desparejado se queda debajo. √72 se convierte en 6√2 porque 72 es 2³·3².
¿Por qué no dar simplemente el decimal?
Porque un decimal es una aproximación y un radical es exacto. √2 no tiene decimal finito, así que 1,414 ya está mal en la cuarta cifra; las respuestas de examen, el álgebra posterior y cualquier simplificación futura necesitan la forma exacta para seguir siendo correctas.
¿Cuándo se pueden sumar dos radicales?
Solo cuando los números que quedan bajo sus signos son iguales después de simplificar y los índices coinciden. Entonces se comportan igual que x + x: suma los coeficientes y conserva el radical. √8 + √18 es 5√2; √8 + √27 no se puede combinar de ninguna forma.
¿Cómo se racionaliza un denominador?
Si el denominador es una sola raíz, multiplica arriba y abajo por esa raíz. Si es una suma o una diferencia como 2 + √3, multiplica por su conjugado, 2 − √3: la diferencia de cuadrados que sale no tiene ninguna raíz. En cualquier caso estás multiplicando por 1, así que el valor nunca cambia.
¿Qué es un conjugado?
Los mismos dos términos con el signo del medio cambiado: el conjugado de 3 − 2√2 es 3 + 2√2. Multiplicar un binomio por su conjugado da una diferencia de cuadrados, y elevar al cuadrado una raíz cuadrada la elimina, que es lo que limpia el denominador.
¿Puedo simplificar raíces cúbicas y cuartas aquí?
Sí, cualquier índice de 2 a 6. La regla se generaliza: bajo una raíz cúbica buscas tríos de primos iguales en lugar de parejas, así que la raíz cúbica de 54 es 3∛2 porque 54 es 27 por 2.
¿Por qué √(2/3) no es igual a √2/√3?
Sí lo es: son el mismo número, y ninguno está en su forma más simple. La raíz de dos tercios es igual a √2/√3, y multiplicar arriba y abajo por √3 da √6/3, que no tiene ninguna raíz en el denominador y es la respuesta terminada.
