Le r de Pearson de vos données, exact en radical, avec sa force et le calcul qui le produit.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Le coefficient de corrélation r est un seul nombre compris entre -1 et 1. Son signe donne le sens de la tendance : positif quand y tend à augmenter avec x, négatif quand il tend à diminuer. Sa taille dit à quel point les points collent à une droite : 1 ou -1 quand tous les points sont sur une même droite, 0 quand il n'y a aucune tendance rectiligne. Il n'a pas d'unité, donc il ne change pas si vous mesurez x en centimètres au lieu de mètres.
Le calcul est celui qu'un cours de statistique vous demande de présenter. Faites un tableau avec x, y, xy, x² et y², additionnez chaque colonne, puis remplacez les sommes dans r = (nΣxy moins ΣxΣy) divisé par la racine carrée de (nΣx² moins (Σx)²) fois (nΣy² moins (Σy)²). Cette page affiche ce tableau et la formule remplie sous la réponse : le nombre arrive avec son calcul.
La réponse est exacte. Le carré de r est toujours une fraction sur des données que l'on peut saisir : r lui-même est donc la racine carrée d'une fraction, affectée d'un signe, et c'est ce que la page affiche : √15/5 pour la série du manuel plutôt que 0,77, qui n'en donne que deux chiffres. La valeur décimale figure à côté du radical, et le qualificatif de force la compare aux seuils indiqués plus bas.
Pour chaque point, écrivez x, y, xy, x² et y², puis additionnez chaque colonne et comptez les points. Pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 et Σy² = 86.
nΣxy moins ΣxΣy = 5 × 66 moins 15 × 20 = 30. Son signe est le signe de r.
nΣx² moins (Σx)² = 275 moins 225 = 50, et nΣy² moins (Σy)² = 430 moins 400 = 30. Les deux sont toujours positives, sauf si tous les x ou tous les y sont égaux.
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. En décimal, cela fait environ 0,7746 : une corrélation forte et positive.
Les qualificatifs sont ceux qu'affiche cette calculatrice. r² est r multiplié par lui-même : le signe disparaît.
| r | Qualificatif | r² | Allure du nuage de points |
|---|---|---|---|
| 1 | parfaite et positive | 1 | Tous les points sur une même droite montante |
| 0.9 | forte et positive | 0.81 | Une bande étroite qui monte vers la droite |
| 0.7 | forte et positive | 0.49 | Une bande montante nette, avec un peu de dispersion |
| 0.5 | modérée et positive | 0.25 | Une tendance montante avec beaucoup de dispersion |
| 0.2 | faible et positive | 0.04 | Une inclinaison que l'on manquerait sans le nombre |
| 0.05 | aucune corrélation linéaire | 0.0025 | Un nuage informe, ou une courbe |
| -0.8 | forte et négative | 0.64 | Une bande nette qui descend vers la droite |
| -1 | parfaite et négative | 1 | Tous les points sur une même droite descendante |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Le numérateur vaut 30 et les parenthèses du dénominateur 50 et 30 : r = 30 / √1500 = √15/5, environ 0,7746. r² = 0,6 exactement. Le qualificatif est « forte et positive », et la droite de régression est y = 0,6x + 2,2.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2Le numérateur vaut -168 et les parenthèses 105 et 296 : r = -168 / √31080 = -2√7770/185, environ -0,9529. r² = 168/185, environ 0,9081. Quand x augmente, y diminue de façon fiable ; le seul point qui rompt le motif, (3, 9), ne suffit pas à l'affaiblir beaucoup.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, environ 0,3536, et r² = 0,125 : une droite explique un huitième de la variation de y. Le qualificatif est « faible et positive » : il y a une inclinaison vers le haut, mais un nuage de points montrerait surtout du bruit.
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4Tous les points sont sur y = x², et pourtant r = 0 exactement. Le numérateur vaut 5 × 0 moins 0 × 10 = 0 : la moitié gauche descendante annule la moitié droite montante. r ne mesure que les relations rectilignes, c'est pourquoi le nuage de points passe en premier.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0C'est la série du manuel avec un point de plus en (10, 0). r passe d'environ 0,7746 à -52√8845/8845, environ -0,5529 : ce seul point est assez éloigné pour inverser le signe. Cela marche aussi dans l'autre sens : x = 1 à 5 avec y = 3, 1, 4, 1, 5 donne r ≈ 0,3536, et ajouter (12, 12) le fait monter à environ 0,9084.
Faites un tableau avec x, y, xy, x² et y² pour chaque point et additionnez chaque colonne. Ensuite r = (nΣxy moins ΣxΣy) / √((nΣx² moins (Σx)²)(nΣy² moins (Σy)²)). Pour x = 1 à 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne 30 / √(50 × 30) = √15/5, environ 0,7746. Collez vos propres colonnes ci-dessus et la page remplit la formule de la même façon.
Cette calculatrice qualifie de forte une valeur de |r| supérieure ou égale à 0,7, de modérée de 0,4 à 0,7, de faible de 0,1 à 0,4, et en dessous de 0,1 parle d'absence de corrélation linéaire. Ce sont des seuils de manuel courants, pas universels : dans un laboratoire de physique, 0,9 peut décevoir, alors qu'en sciences sociales 0,4 peut être un résultat notable.
r a un signe, r² n'en a pas. r donne le sens et la force ; r² donne la part de la variation de y expliquée par la droite de régression. r = 0,7746 donne r² = 0,6 : la droite explique 60 % de la variation et laisse 40 % de dispersion.
Non. r est toujours compris entre -1 et 1 et n'atteint l'une des bornes que si tous les points sont sur une même droite. Un résultat supérieur à 1 signale une somme fausse, le plus souvent Σx² calculé comme (Σx)².
Non. Elle signifie que les deux varient ensemble dans ces données. Un troisième facteur peut agir sur les deux, comme la chaleur fait monter à la fois les ventes de glaces et les noyades, ou la cause peut aller dans l'autre sens. Établir une cause demande une expérience ou un raisonnement sur le mécanisme.
Du r de Pearson, le coefficient de corrélation habituel, qui mesure à quel point une droite s'ajuste aux valeurs elles-mêmes. Le coefficient de Spearman applique la même formule aux rangs des valeurs : il mesure alors toute relation qui monte ou descend régulièrement, et il est moins sensible aux valeurs aberrantes.
Parce que c'est sa valeur exacte. r² est toujours une fraction sur des données que l'on peut saisir : r est donc la racine carrée de cette fraction, avec un signe, soit √15/5 pour la série du manuel. La valeur décimale 0,7746 est affichée à côté comme approximation, et c'est elle que lit le qualificatif de force.
Au moins trois ici. Avec deux points, r vaut toujours 1 ou -1, car une droite passe par deux points quelconques : le nombre ne dit alors rien des données. Même avec quelques points, r peut beaucoup varier : considérez un r calculé sur cinq points comme une lecture approximative.
