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Calculatrice de coefficient de corrélation

Le r de Pearson de vos données, exact en radical, avec sa force et le calcul qui le produit.

Par Nethanel Bar, Cofondateur et PDG

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r mesure à quel point les points suivent une droite

Le coefficient de corrélation r est un seul nombre compris entre -1 et 1. Son signe donne le sens de la tendance : positif quand y tend à augmenter avec x, négatif quand il tend à diminuer. Sa taille dit à quel point les points collent à une droite : 1 ou -1 quand tous les points sont sur une même droite, 0 quand il n'y a aucune tendance rectiligne. Il n'a pas d'unité, donc il ne change pas si vous mesurez x en centimètres au lieu de mètres.

Le calcul est celui qu'un cours de statistique vous demande de présenter. Faites un tableau avec x, y, xy, x² et y², additionnez chaque colonne, puis remplacez les sommes dans r = (nΣxy moins ΣxΣy) divisé par la racine carrée de (nΣx² moins (Σx)²) fois (nΣy² moins (Σy)²). Cette page affiche ce tableau et la formule remplie sous la réponse : le nombre arrive avec son calcul.

La réponse est exacte. Le carré de r est toujours une fraction sur des données que l'on peut saisir : r lui-même est donc la racine carrée d'une fraction, affectée d'un signe, et c'est ce que la page affiche : √15/5 pour la série du manuel plutôt que 0,77, qui n'en donne que deux chiffres. La valeur décimale figure à côté du radical, et le qualificatif de force la compare aux seuils indiqués plus bas.

Comment lire r

  • Le signe est le sens et la taille est la force. r = -0,95 traduit une relation plus forte que r = 0,6 ; elle va simplement dans l'autre sens.
  • Cette page qualifie de forte une valeur de |r| supérieure ou égale à 0,7, de modérée de 0,4 à 0,7, de faible de 0,1 à 0,4, et en dessous de 0,1 parle d'absence de corrélation linéaire. C'est une convention courante, pas une règle ; chaque domaine fixe ses propres seuils.
  • r² est la part de la variation de y expliquée par la droite de régression. r = √15/5 donne r² = 0,6 : la droite explique 60 % de la variation.
  • r ne mesure que les relations rectilignes. Des points exactement sur y = x² de x = -2 à 2 ont r = 0.
  • Une seule valeur aberrante peut changer r du tout au tout. Ajoutez le point (10, 0) à la série du manuel et r passe d'environ 0,7746 à environ -0,5529.
  • r ne change pas quand on change l'échelle de l'une des variables ou qu'on échange x et y. La droite de régression, elle, change quand on les échange ; r non.

Comment calculer le coefficient de corrélation à la main

  1. Construisez le tableau des sommes

    Pour chaque point, écrivez x, y, xy, x² et y², puis additionnez chaque colonne et comptez les points. Pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 et Σy² = 86.

  2. Calculez le numérateur

    nΣxy moins ΣxΣy = 5 × 66 moins 15 × 20 = 30. Son signe est le signe de r.

  3. Calculez les deux parenthèses du dénominateur

    nΣx² moins (Σx)² = 275 moins 225 = 50, et nΣy² moins (Σy)² = 430 moins 400 = 30. Les deux sont toujours positives, sauf si tous les x ou tous les y sont égaux.

  4. Divisez et simplifiez

    r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. En décimal, cela fait environ 0,7746 : une corrélation forte et positive.

Lire r d'un coup d'œil

Les qualificatifs sont ceux qu'affiche cette calculatrice. r² est r multiplié par lui-même : le signe disparaît.

rQualificatifr²Allure du nuage de points
1parfaite et positive1Tous les points sur une même droite montante
0.9forte et positive0.81Une bande étroite qui monte vers la droite
0.7forte et positive0.49Une bande montante nette, avec un peu de dispersion
0.5modérée et positive0.25Une tendance montante avec beaucoup de dispersion
0.2faible et positive0.04Une inclinaison que l'on manquerait sans le nombre
0.05aucune corrélation linéaire0.0025Un nuage informe, ou une courbe
-0.8forte et négative0.64Une bande nette qui descend vers la droite
-1parfaite et négative1Tous les points sur une même droite descendante

Exemples résolus

La série du manuel

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Le numérateur vaut 30 et les parenthèses du dénominateur 50 et 30 : r = 30 / √1500 = √15/5, environ 0,7746. r² = 0,6 exactement. Le qualificatif est « forte et positive », et la droite de régression est y = 0,6x + 2,2.

Une forte corrélation négative

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2

Le numérateur vaut -168 et les parenthèses 105 et 296 : r = -168 / √31080 = -2√7770/185, environ -0,9529. r² = 168/185, environ 0,9081. Quand x augmente, y diminue de façon fiable ; le seul point qui rompt le motif, (3, 9), ne suffit pas à l'affaiblir beaucoup.

Une corrélation faible

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5

r = √2/4, environ 0,3536, et r² = 0,125 : une droite explique un huitième de la variation de y. Le qualificatif est « faible et positive » : il y a une inclinaison vers le haut, mais un nuage de points montrerait surtout du bruit.

Une relation parfaite avec r = 0

plain
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4

Tous les points sont sur y = x², et pourtant r = 0 exactement. Le numérateur vaut 5 × 0 moins 0 × 10 = 0 : la moitié gauche descendante annule la moitié droite montante. r ne mesure que les relations rectilignes, c'est pourquoi le nuage de points passe en premier.

L'effet d'une valeur aberrante

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0

C'est la série du manuel avec un point de plus en (10, 0). r passe d'environ 0,7746 à -52√8845/8845, environ -0,5529 : ce seul point est assez éloigné pour inverser le signe. Cela marche aussi dans l'autre sens : x = 1 à 5 avec y = 3, 1, 4, 1, 5 donne r ≈ 0,3536, et ajouter (12, 12) le fait monter à environ 0,9084.

Erreurs fréquentes

  • Élever la somme au carré au lieu d'additionner les carrés. Σx² pour x = 1 à 5 vaut 55 ; (Σx)² vaut 225. Les confondre peut donner un r supérieur à 1, ce qui est impossible.
  • Lire r = 0 comme l'absence de relation. Cela veut dire absence de relation rectiligne ; les points peuvent quand même être exactement sur une courbe.
  • Prendre un r fort comme la preuve d'une cause. Deux grandeurs peuvent augmenter ensemble parce qu'une troisième agit sur les deux, ou par coïncidence.
  • Comparer des valeurs de r par leur signe. -0,9 est plus fort que 0,6. Comparez les tailles, et lisez le signe à part, comme le sens.
  • Citer r sans regarder le graphique. Une valeur aberrante peut inverser le signe, et une courbe peut se cacher derrière une valeur élevée.
  • Arrondir r puis l'élever au carré. r ≈ 0,77 donne 0,5929, alors que r² vaut exactement 0,6 pour la série du manuel. Élevez la valeur exacte au carré.

Questions fréquentes sur le coefficient de corrélation

Comment calculer le coefficient de corrélation ?
Faites un tableau avec x, y, xy, x² et y² pour chaque point et additionnez chaque colonne. Ensuite r = (nΣxy moins ΣxΣy) / √((nΣx² moins (Σx)²)(nΣy² moins (Σy)²)). Pour x = 1 à 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne 30 / √(50 × 30) = √15/5, environ 0,7746. Collez vos propres colonnes ci-dessus et la page remplit la formule de la même façon.
Qu'est-ce qu'un coefficient de corrélation fort ?
Cette calculatrice qualifie de forte une valeur de |r| supérieure ou égale à 0,7, de modérée de 0,4 à 0,7, de faible de 0,1 à 0,4, et en dessous de 0,1 parle d'absence de corrélation linéaire. Ce sont des seuils de manuel courants, pas universels : dans un laboratoire de physique, 0,9 peut décevoir, alors qu'en sciences sociales 0,4 peut être un résultat notable.
Quelle différence entre r et r² ?
r a un signe, r² n'en a pas. r donne le sens et la force ; r² donne la part de la variation de y expliquée par la droite de régression. r = 0,7746 donne r² = 0,6 : la droite explique 60 % de la variation et laisse 40 % de dispersion.
Le coefficient de corrélation peut-il dépasser 1 ?
Non. r est toujours compris entre -1 et 1 et n'atteint l'une des bornes que si tous les points sont sur une même droite. Un résultat supérieur à 1 signale une somme fausse, le plus souvent Σx² calculé comme (Σx)².
Une forte corrélation veut-elle dire que l'un cause l'autre ?
Non. Elle signifie que les deux varient ensemble dans ces données. Un troisième facteur peut agir sur les deux, comme la chaleur fait monter à la fois les ventes de glaces et les noyades, ou la cause peut aller dans l'autre sens. Établir une cause demande une expérience ou un raisonnement sur le mécanisme.
S'agit-il de la corrélation de Pearson ou de Spearman ?
Du r de Pearson, le coefficient de corrélation habituel, qui mesure à quel point une droite s'ajuste aux valeurs elles-mêmes. Le coefficient de Spearman applique la même formule aux rangs des valeurs : il mesure alors toute relation qui monte ou descend régulièrement, et il est moins sensible aux valeurs aberrantes.
Pourquoi r est-il affiché avec une racine carrée ?
Parce que c'est sa valeur exacte. r² est toujours une fraction sur des données que l'on peut saisir : r est donc la racine carrée de cette fraction, avec un signe, soit √15/5 pour la série du manuel. La valeur décimale 0,7746 est affichée à côté comme approximation, et c'est elle que lit le qualificatif de force.
Combien de points faut-il ?
Au moins trois ici. Avec deux points, r vaut toujours 1 ou -1, car une droite passe par deux points quelconques : le nombre ne dit alors rien des données. Même avec quelques points, r peut beaucoup varier : considérez un r calculé sur cinq points comme une lecture approximative.

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