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Calculatrice de régression linéaire

La droite de régression de vos points, exacte, avec r et chaque étape du calcul.

Par Nethanel Bar, Cofondateur et PDG

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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.

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La régression linéaire trouve la seule droite qui manque les points le moins possible

Des données réelles ne sont jamais alignées sur une seule droite : toute droite tracée au milieu manque donc la plupart des points. Chaque écart est un résidu, le y réel moins le y prédit par la droite. La régression linéaire élève chaque résidu au carré, additionne les carrés et choisit la droite qui rend ce total le plus petit possible. Cette droite est la droite de régression des moindres carrés, aussi appelée droite d'ajustement, et il en existe exactement une pour tout ensemble de points dont les valeurs de x ne sont pas toutes égales.

Pour la trouver, il faut cinq nombres : l'effectif n et les sommes de x, de y, de xy et de x². La pente est m = (nΣxy moins ΣxΣy) divisé par (nΣx² moins (Σx)²), et l'ordonnée à l'origine est b = (Σy moins mΣx) divisé par n. Cette page construit le tableau de ces sommes, remplace vos nombres dans les deux formules et affiche chaque ligne du calcul, parce que c'est le tableau que le professeur vérifie.

La pente et l'ordonnée à l'origine restent des fractions exactes. Sur des données faites d'entiers, de décimaux et de fractions, elles sont toujours rationnelles : une pente de 162/35 s'affiche 162/35 et non 4,6286, qui n'en est qu'un arrondi. Le coefficient de corrélation r est une racine carrée : il apparaît sous forme de radical, avec sa valeur décimale à côté. Le bouton Copier donne la droite en décimaux, prête pour un tableur.

Ce qu'il faut remarquer sur la droite

  • Elle passe toujours par le point moyen. Pour x = 1 à 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, les moyennes valent 3 et 4, la droite est y = 0,6x + 2,2, et 0,6 × 3 + 2,2 = 4.
  • Ses résidus ont toujours une somme exactement nulle. Les écarts au-dessus et au-dessous de la droite se compensent, c'est pourquoi la méthode les élève au carré avant de les additionner.
  • La pente a une unité : des unités de y par unité de x. Une pente de 162/35 entre les heures de révision et la note obtenue signifie environ 4,63 points de plus par heure supplémentaire.
  • Échanger x et y donne une autre droite, pas la même réarrangée. La régression de y en x rend petits les écarts verticaux ; celle de x en y rend petits les écarts horizontaux.
  • La pente dit à quel point la tendance est raide, et r dit à quel point les points la suivent de près. Ils ont toujours le même signe, mais une droite raide peut avoir un r faible et une droite presque plate un r fort.
  • Deux points donnent toujours un ajustement parfait avec r = 1 ou -1. Cela ne dit rien des données : une droite de régression commence à avoir un sens à partir de trois points.

Comment trouver la droite de régression à la main

  1. Faites le tableau

    Écrivez chaque point sur une ligne avec quatre colonnes : x, y, xy et x². Additionnez chaque colonne et comptez les points. Pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 et Σx² = 55.

  2. Calculez la pente

    m = (nΣxy moins ΣxΣy) / (nΣx² moins (Σx)²). Ici (5 × 66 moins 15 × 20) / (5 × 55 moins 15²) = 30 / 50 = 0,6. Gardez une fraction si le résultat ne tombe pas sur un décimal court.

  3. Calculez l'ordonnée à l'origine

    b = (Σy moins mΣx) / n. Ici (20 moins 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Utilisez la pente exacte de l'étape précédente, pas une pente arrondie.

  4. Écrivez la droite et vérifiez-la

    y = 0,6x + 2,2. Vérifiez qu'elle passe par le point moyen (3, 4) : 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Si ce n'est pas le cas, l'une des sommes est fausse.

  5. Jugez l'ajustement

    Calculez r, ou regardez les résidus. Ici r = √15/5, environ 0,7746, et les résidus valent -0,8 ; 0,6 ; 1 ; -0,6 et -0,2, avec des carrés dont la somme vaut 2,4.

Droites de régression pour de petites séries

Chaque ligne est une série saisie dans la calculatrice ci-dessus. La pente et l'ordonnée à l'origine sont exactes ; r est donné sous forme de radical avec sa valeur décimale.

Valeurs de xValeurs de yDroite de régressionrr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Exemples résolus

La série du manuel

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x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Les sommes sont Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 et Σx² = 55, avec n = 5. La pente vaut 30/50 = 0,6 et l'ordonnée à l'origine 11/5 = 2,2 : la droite est donc y = 0,6x + 2,2. Les résidus valent -0,8 ; 0,6 ; 1 ; -0,6 et -0,2, leur somme est 0, et la somme de leurs carrés vaut 2,4. La corrélation est r = √15/5, environ 0,7746 : forte et positive.

Une pente fractionnaire : heures de révision et note

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x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Les moyennes sont 3,5 heures et 64 points. La pente vaut 162/35, environ 4,63 points par heure, et l'ordonnée à l'origine 64 moins (162/35) × 3,5 = 47,8, d'où y = (162/35)x + 47,8 avec r ≈ 0,9959. Pour 4,5 heures, la droite prédit 2402/35, environ 68,63. Pour 12 heures, elle prédit environ 103,34 à un contrôle noté sur 100 : une extrapolation que les données ne peuvent pas justifier.

Des points déjà alignés

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x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Chaque pas de 1 en x fait baisser y de 2 : les points sont exactement sur y = -2x + 7. La calculatrice trouve cette droite, chaque résidu vaut 0, la somme des carrés des résidus vaut 0, et r = -1 : une corrélation négative parfaite.

Prédire dans les données et en dehors

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x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

La droite est y = 1,45x + 0,3 avec r ≈ 0,9889, et elle passe par le point moyen (6, 9). En x = 7, à l'intérieur des données, elle prédit 10,45 : c'est une interpolation, fiable à peu près autant que l'ajustement. En x = 60, elle prédit 87,3, cinquante unités après le dernier point, là où rien dans les données ne dit que la tendance continue.

Un r fort qui cache une courbe

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x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

La droite de régression est y = 5x - 10/3 avec r ≈ 0,9599, ce qui semble excellent. Les résidus valent 10/3 ; -2/3 ; -8/3 ; -8/3 ; -2/3 et 10/3 : positifs aux deux bouts, négatifs au milieu. Cette forme en U montre que les points sont sur une courbe, et la régression quadratique les ajuste exactement par y = x².

Erreurs fréquentes

  • Arrondir la pente avant de calculer l'ordonnée à l'origine. Avec une pente de 162/35, prendre 4,63 donne une ordonnée à l'origine de 47,795 au lieu de 47,8. Gardez la pente exacte jusqu'au bout et arrondissez une seule fois à la fin.
  • Confondre nΣx² et (Σx)². Pour x = 1 à 5, le premier vaut 5 × 55 = 275 et le second 15² = 225. Les intervertir change le signe du dénominateur.
  • Associer les valeurs dans le désordre. Le premier x va avec le premier y. Trier une colonne sans l'autre produit une droite passant par des points qui n'existent pas.
  • Extrapoler loin des données. La droite décrit l'intervalle sur lequel elle a été ajustée ; une prédiction nettement en dehors peut être complètement fausse, même avec r proche de 1.
  • Prendre un r élevé pour la preuve qu'une droite est le bon modèle. Les carrés de 0 à 25 donnent r ≈ 0,96 et sont pourtant sur une courbe. Regardez les résidus.
  • Lire la pente comme une cause. Une droite dit comment y tend à varier avec x dans ces données, pas que modifier x modifierait y.
  • Ajuster x en fonction de y quand la question demande y en fonction de x. Les deux droites de régression sont différentes, sauf si tous les points sont sur une même droite.

Questions fréquentes sur la régression linéaire

Comment calculer une régression linéaire à la main ?
Faites un tableau avec x, y, xy et x² pour chaque point, puis additionnez les colonnes. La pente est m = (nΣxy moins ΣxΣy) / (nΣx² moins (Σx)²) et l'ordonnée à l'origine b = (Σy moins mΣx) / n. Pour x = 1 à 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne m = 30/50 = 0,6 et b = 11/5 = 2,2, soit y = 0,6x + 2,2. Cette page affiche le même tableau et remplit les deux formules pour que vous puissiez vérifier chaque ligne.
Qu'est-ce que la droite des moindres carrés ?
La droite qui rend la somme des carrés des résidus la plus petite possible, un résidu étant le y réel d'un point moins le y prédit par la droite. Elle est unique dès que les valeurs de x ne sont pas toutes égales. Pour les cinq points ci-dessus, aucune autre droite ne fait descendre la somme des carrés sous 2,4.
Que signifient la pente et l'ordonnée à l'origine ?
La pente indique de combien y varie en moyenne quand x augmente de 1, en unités de y par unité de x. L'ordonnée à l'origine est le y prédit pour x = 0. Elle n'a de sens que si x = 0 se trouve dans les données ou près d'elles : une régression du poids en fonction de la taille a une ordonnée à l'origine, pour une taille nulle, qui ne décrit personne.
La droite d'ajustement est-elle la même chose que la droite de régression ?
Oui. En statistique, la droite d'ajustement est la droite de régression des moindres carrés, celle que calcule cette page. Une droite tracée à l'œil sur du papier en est une estimation, et elle devrait passer par le point moyen, comme la droite calculée le fait toujours.
Quel est un bon r² pour une droite de régression ?
Cela dépend du domaine. r² est la part de la variation de y expliquée par la droite : 0,9 signifie 90 %. Des mesures issues d'une expérience de physique contrôlée atteignent souvent 0,99 ; des données sur des personnes plafonnent souvent entre 0,3 et 0,5 et restent utiles. Un r² élevé ne prouve pas qu'une droite est la bonne forme : vérifiez aussi les résidus.
Combien de points faut-il pour une régression linéaire ?
Deux points définissent une droite, donc la calculatrice en accepte deux, mais une droite passant par deux points s'ajuste toujours parfaitement et ne dit rien des données. À partir de trois points, les résidus, r et r² commencent à porter de l'information, et plus il y a de points, plus la pente est fiable.
Peut-on utiliser la droite de régression pour prédire ?
Dans l'intervalle de vos valeurs de x, oui : c'est une interpolation, aussi bonne que l'ajustement. En dehors, c'est une extrapolation, et rien dans les données ne dit que la tendance continue. L'exemple des notes sur cette page prédit environ 103 points pour 12 heures de révision, à un contrôle noté sur 100.
Pourquoi les résultats sont-ils des fractions et non des décimaux ?
Parce que la pente et l'ordonnée à l'origine d'une droite des moindres carrés sur des données rationnelles sont des nombres rationnels, et la fraction est la valeur exacte. 162/35 est la pente ; 4,6286 en est un arrondi, et chaque prédiction faite avec l'arrondi en porte l'erreur. Le bouton Copier donne des décimaux quand vous en avez besoin.

Plus d'outils de mathématiques

Calculatrice du khi-deux

Indépendance sur un tableau de contingence ou test d'ajustement, avec chaque effectif attendu exact.

Calculatrice de coefficient de corrélation

Le r de Pearson de vos données, exact en radical, avec sa force et le calcul qui le produit.

Calculatrice de régression quadratique

La parabole d'ajustement de vos points, avec des coefficients exacts et R².

Calculatrice de régression exponentielle

La courbe y = a·bˣ qui ajuste une croissance ou une décroissance, avec le taux par pas.

Illustration des langages de programmation de Coddy

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