La droite de régression de vos points, exacte, avec r et chaque étape du calcul.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Des données réelles ne sont jamais alignées sur une seule droite : toute droite tracée au milieu manque donc la plupart des points. Chaque écart est un résidu, le y réel moins le y prédit par la droite. La régression linéaire élève chaque résidu au carré, additionne les carrés et choisit la droite qui rend ce total le plus petit possible. Cette droite est la droite de régression des moindres carrés, aussi appelée droite d'ajustement, et il en existe exactement une pour tout ensemble de points dont les valeurs de x ne sont pas toutes égales.
Pour la trouver, il faut cinq nombres : l'effectif n et les sommes de x, de y, de xy et de x². La pente est m = (nΣxy moins ΣxΣy) divisé par (nΣx² moins (Σx)²), et l'ordonnée à l'origine est b = (Σy moins mΣx) divisé par n. Cette page construit le tableau de ces sommes, remplace vos nombres dans les deux formules et affiche chaque ligne du calcul, parce que c'est le tableau que le professeur vérifie.
La pente et l'ordonnée à l'origine restent des fractions exactes. Sur des données faites d'entiers, de décimaux et de fractions, elles sont toujours rationnelles : une pente de 162/35 s'affiche 162/35 et non 4,6286, qui n'en est qu'un arrondi. Le coefficient de corrélation r est une racine carrée : il apparaît sous forme de radical, avec sa valeur décimale à côté. Le bouton Copier donne la droite en décimaux, prête pour un tableur.
Écrivez chaque point sur une ligne avec quatre colonnes : x, y, xy et x². Additionnez chaque colonne et comptez les points. Pour x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 et Σx² = 55.
m = (nΣxy moins ΣxΣy) / (nΣx² moins (Σx)²). Ici (5 × 66 moins 15 × 20) / (5 × 55 moins 15²) = 30 / 50 = 0,6. Gardez une fraction si le résultat ne tombe pas sur un décimal court.
b = (Σy moins mΣx) / n. Ici (20 moins 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Utilisez la pente exacte de l'étape précédente, pas une pente arrondie.
y = 0,6x + 2,2. Vérifiez qu'elle passe par le point moyen (3, 4) : 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Si ce n'est pas le cas, l'une des sommes est fausse.
Calculez r, ou regardez les résidus. Ici r = √15/5, environ 0,7746, et les résidus valent -0,8 ; 0,6 ; 1 ; -0,6 et -0,2, avec des carrés dont la somme vaut 2,4.
Chaque ligne est une série saisie dans la calculatrice ci-dessus. La pente et l'ordonnée à l'origine sont exactes ; r est donné sous forme de radical avec sa valeur décimale.
| Valeurs de x | Valeurs de y | Droite de régression | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Les sommes sont Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 et Σx² = 55, avec n = 5. La pente vaut 30/50 = 0,6 et l'ordonnée à l'origine 11/5 = 2,2 : la droite est donc y = 0,6x + 2,2. Les résidus valent -0,8 ; 0,6 ; 1 ; -0,6 et -0,2, leur somme est 0, et la somme de leurs carrés vaut 2,4. La corrélation est r = √15/5, environ 0,7746 : forte et positive.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Les moyennes sont 3,5 heures et 64 points. La pente vaut 162/35, environ 4,63 points par heure, et l'ordonnée à l'origine 64 moins (162/35) × 3,5 = 47,8, d'où y = (162/35)x + 47,8 avec r ≈ 0,9959. Pour 4,5 heures, la droite prédit 2402/35, environ 68,63. Pour 12 heures, elle prédit environ 103,34 à un contrôle noté sur 100 : une extrapolation que les données ne peuvent pas justifier.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Chaque pas de 1 en x fait baisser y de 2 : les points sont exactement sur y = -2x + 7. La calculatrice trouve cette droite, chaque résidu vaut 0, la somme des carrés des résidus vaut 0, et r = -1 : une corrélation négative parfaite.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15La droite est y = 1,45x + 0,3 avec r ≈ 0,9889, et elle passe par le point moyen (6, 9). En x = 7, à l'intérieur des données, elle prédit 10,45 : c'est une interpolation, fiable à peu près autant que l'ajustement. En x = 60, elle prédit 87,3, cinquante unités après le dernier point, là où rien dans les données ne dit que la tendance continue.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25La droite de régression est y = 5x - 10/3 avec r ≈ 0,9599, ce qui semble excellent. Les résidus valent 10/3 ; -2/3 ; -8/3 ; -8/3 ; -2/3 et 10/3 : positifs aux deux bouts, négatifs au milieu. Cette forme en U montre que les points sont sur une courbe, et la régression quadratique les ajuste exactement par y = x².
Faites un tableau avec x, y, xy et x² pour chaque point, puis additionnez les colonnes. La pente est m = (nΣxy moins ΣxΣy) / (nΣx² moins (Σx)²) et l'ordonnée à l'origine b = (Σy moins mΣx) / n. Pour x = 1 à 5 et y = 2, 4, 5, 4, 5, cela donne m = 30/50 = 0,6 et b = 11/5 = 2,2, soit y = 0,6x + 2,2. Cette page affiche le même tableau et remplit les deux formules pour que vous puissiez vérifier chaque ligne.
La droite qui rend la somme des carrés des résidus la plus petite possible, un résidu étant le y réel d'un point moins le y prédit par la droite. Elle est unique dès que les valeurs de x ne sont pas toutes égales. Pour les cinq points ci-dessus, aucune autre droite ne fait descendre la somme des carrés sous 2,4.
La pente indique de combien y varie en moyenne quand x augmente de 1, en unités de y par unité de x. L'ordonnée à l'origine est le y prédit pour x = 0. Elle n'a de sens que si x = 0 se trouve dans les données ou près d'elles : une régression du poids en fonction de la taille a une ordonnée à l'origine, pour une taille nulle, qui ne décrit personne.
Oui. En statistique, la droite d'ajustement est la droite de régression des moindres carrés, celle que calcule cette page. Une droite tracée à l'œil sur du papier en est une estimation, et elle devrait passer par le point moyen, comme la droite calculée le fait toujours.
Cela dépend du domaine. r² est la part de la variation de y expliquée par la droite : 0,9 signifie 90 %. Des mesures issues d'une expérience de physique contrôlée atteignent souvent 0,99 ; des données sur des personnes plafonnent souvent entre 0,3 et 0,5 et restent utiles. Un r² élevé ne prouve pas qu'une droite est la bonne forme : vérifiez aussi les résidus.
Deux points définissent une droite, donc la calculatrice en accepte deux, mais une droite passant par deux points s'ajuste toujours parfaitement et ne dit rien des données. À partir de trois points, les résidus, r et r² commencent à porter de l'information, et plus il y a de points, plus la pente est fiable.
Dans l'intervalle de vos valeurs de x, oui : c'est une interpolation, aussi bonne que l'ajustement. En dehors, c'est une extrapolation, et rien dans les données ne dit que la tendance continue. L'exemple des notes sur cette page prédit environ 103 points pour 12 heures de révision, à un contrôle noté sur 100.
Parce que la pente et l'ordonnée à l'origine d'une droite des moindres carrés sur des données rationnelles sont des nombres rationnels, et la fraction est la valeur exacte. 162/35 est la pente ; 4,6286 en est un arrondi, et chaque prédiction faite avec l'arrondi en porte l'erreur. Le bouton Copier donne des décimaux quand vous en avez besoin.
