Qu'est-ce que la distributivité ?

Elle dit que multiplier une somme donne le même résultat que multiplier chaque partie puis additionner : a(b + c) = ab + ac. C'est ce qui permet de supprimer les parenthèses en algèbre, et c'est la raison pour laquelle vous pouvez faire 7 × 23 de tête comme 7 × 20 plus 7 × 3.

Pourquoi a(b + c) = ab + ac est-il vrai ?

Parce que les deux membres sont l'aire du même rectangle. Un rectangle de hauteur a et de largeur (b + c) a pour aire a(b + c). Coupez-le par un trait vertical en une partie de largeur b et une de largeur c, et les deux aires valent ab et ac. Découper une figure ne change pas la quantité de figure, donc les deux expressions doivent être égales.

Comment cela marche-t-il avec un signe moins ?

Le signe se transmet à chaque terme dans la parenthèse. Ainsi -2(x + 3) vaut -2x - 6, et non -2x + 6 : les deux termes sont multipliés par -2. C'est l'erreur la plus fréquente avec les parenthèses, et il vaut la peine de vérifier chaque fois en se demandant ce qui se passe si l'on remplace x par un nombre.

Quelle différence entre développer et factoriser ?

C'est le même fait employé dans les deux sens. Développer va de a(b + c) à ab + ac et enlève les parenthèses. Factoriser va de ab + ac à a(b + c) et les remet. Savoir lire la règle à l'envers est ce qui rend la factorisation possible.

La méthode FOIL est-elle la distributivité ?

Oui — FOIL est la distributivité appliquée deux fois. Pour développer (x + 2)(x + 3), vous distribuez la première parenthèse entière sur la seconde, puis vous distribuez encore à l'intérieur de chaque partie. FOIL est un moyen mnémotechnique pour les quatre produits obtenus ; ce n'est pas une règle à part, et c'est pourquoi il cesse de fonctionner dès qu'une parenthèse a trois termes alors que distribuer continue.

La distributivité

a(b + c) = ab + ac est d'habitude énoncée puis répétée jusqu'à l'usure. Elle se retient plus facilement quand on l'a vue, parce que c'est une image : un rectangle, coupé en deux.

Par Nethanel Bar, Co-founder & CEO

Dernière mise à jour 25 août 2026

Vous avez presque certainement déjà utilisé la distributivité sans qu'on vous en donne le nom. Si on vous demande 7 × 23, la plupart des gens font 7 × 20 = 140, puis 7 × 3 = 21, puis additionnent pour trouver 161. C'est 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 — la règle, appliquée au calcul numérique.

En algèbre elle fait le même travail sur des lettres, et c'est la raison pour laquelle les parenthèses peuvent être supprimées. Voici pourquoi elle est vraie.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

Couper le rectangle ne change pas son aire. C'est toute la distributivité.

C'est un rectangle, coupé

Mettez les curseurs sur a = 3, b = 4, c = 2 et regardez la figure.

Le rectangle entier a une hauteur de 3 et une largeur de 4 + 2 = 6, son aire vaut donc 3(4 + 2) = 18. La coupe verticale le partage en une pièce de 3 sur 4 et une pièce de 3 sur 2, d'aires 3*4 = 12 et 3*2 = 6 — et 12 + 6 font 18.

C'est là toute la démonstration. Couper un rectangle ne change pas son aire, donc l'expression en un morceau et celle en deux morceaux doivent être égales, quels que soient les nombres. Bougez les trois curseurs : les deux totaux ne se contredisent jamais.

Écrit en général : a(b + c) = a*b + a*c.

Les étiquettes des côtés méritent un regard, car elles disent quel nombre fait quoi. Le a est à l'extérieur de la parenthèse et il multiplie les deux pièces, puisque les deux ont a pour hauteur. Rien à l'intérieur de la parenthèse ne multiplie quoi que ce soit d'autre.

Le cas du signe moins, là où l'on glisse

Faites maintenant descendre c sous zéro.

Le deuxième rectangle change de couleur et rentre dans le premier, parce qu'une largeur négative signifie que la pièce est retirée. Avec a = 3, b = 4 et c = -2, le total vaut 3(4 - 2) = 6 — et les deux pièces valent 3*4 = 12 et moins 3*2 = 6. Douze moins six.

Le signe moins se transmet donc au deuxième terme :

a(b - c) = a*b - a*c

C'est l'erreur contre laquelle il faut se prémunir. Écrire -2(x + 3) sous la forme -2x + 6 est faux ; le -2 multiplie les deux termes et donne -2x - 6. En cas de doute, remplacez x par un nombre : pour x = 1 l'expression de départ vaut -2(1 + 3) = -8, et seul -2x - 6 donne -8.

S'en servir pour résoudre

Supprimer les parenthèses n'est presque jamais le but en soi : c'est une étape vers l'isolement d'une lettre. La voici à l'intérieur d'une résolution :

À remarquer : le chemin ci-dessus n'a pas développé la parenthèse du tout, parce que 27 étant divisible par 3, il était plus rapide de diviser les deux membres d'abord. Distribuer est un outil, pas une obligation — développer jusqu'à 3x + 12 = 27 mène au même x = 5 par un chemin plus long.

La lire à l'envers

Lisez a*b + a*c = a(b + c) de droite à gauche et vous avez la factorisation : repérer un facteur commun à tous les termes et le sortir devant. 6x + 9 devient 3(2x + 3) parce que les deux termes sont divisibles par 3.

C'est la même image vue de l'autre côté : au lieu de couper un rectangle, vous remarquez que deux rectangles ont la même hauteur et peuvent être accolés.

Essayez-en une

Celle-ci a le négatif à l'extérieur exprès. Si vous trouvez -1, le signe moins n'a pas atteint le 3.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la distributivité ?: Elle dit que multiplier une somme donne le même résultat que multiplier chaque partie puis additionner : a(b + c) = ab + ac. C'est ce qui permet de supprimer les parenthèses en algèbre, et c'est la raison pour laquelle vous pouvez faire 7 × 23 de tête comme 7 × 20 plus 7 × 3.
Pourquoi a(b + c) = ab + ac est-il vrai ?: Parce que les deux membres sont l'aire du même rectangle. Un rectangle de hauteur a et de largeur (b + c) a pour aire a(b + c). Coupez-le par un trait vertical en une partie de largeur b et une de largeur c, et les deux aires valent ab et ac. Découper une figure ne change pas la quantité de figure, donc les deux expressions doivent être égales.
Comment cela marche-t-il avec un signe moins ?: Le signe se transmet à chaque terme dans la parenthèse. Ainsi -2(x + 3) vaut -2x - 6, et non -2x + 6 : les deux termes sont multipliés par -2. C'est l'erreur la plus fréquente avec les parenthèses, et il vaut la peine de vérifier chaque fois en se demandant ce qui se passe si l'on remplace x par un nombre.
Quelle différence entre développer et factoriser ?: C'est le même fait employé dans les deux sens. Développer va de a(b + c) à ab + ac et enlève les parenthèses. Factoriser va de ab + ac à a(b + c) et les remet. Savoir lire la règle à l'envers est ce qui rend la factorisation possible.
La méthode FOIL est-elle la distributivité ?: Oui — FOIL est la distributivité appliquée deux fois. Pour développer (x + 2)(x + 3), vous distribuez la première parenthèse entière sur la seconde, puis vous distribuez encore à l'intérieur de chaque partie. FOIL est un moyen mnémotechnique pour les quatre produits obtenus ; ce n'est pas une règle à part, et c'est pourquoi il cesse de fonctionner dès qu'une parenthèse a trois termes alors que distribuer continue.

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