Le classique : √72
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sqrt(72)72 = 2³·3². Les paires sont 2·2 et 3·3, qui envoient dehors un 2 et un 3 et laissent un 2 dedans. Donc √72 = 6√2, et le carré redonne 36·2 = 72.
Calculatrice de radicaux
Simplifiez, combinez et rendez rationnels les radicaux : la réponse est une forme, pas un décimal.
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La réponse à une question de radicaux est une forme, pas un décimal
Une calculatrice vous dira que la racine carrée de 72 vaut 8,4852814. Ce n’est presque jamais la réponse qu’attend un exercice de radicaux. Ce qu’il attend, c’est 6 fois la racine carrée de 2 : la même quantité écrite de sorte qu’aucune puissance parfaite ne reste cachée sous le signe. Cette différence est tout le sujet : simplifier un radical, c’est réécrire, pas évaluer, et un décimal jette précisément l’exactitude qu’on vous demandait de garder.
Tout est exact sur cette page. La racine carrée de 72 vaut 6√2, la racine cubique de 54 vaut 3∛2, la racine de deux tiers vaut √6/3, et un sur deux plus √3 vaut exactement 2 − √3. Un décimal est proposé à côté de chaque réponse, clairement signalé comme une approximation, parce qu’on veut parfois savoir l’ordre de grandeur - mais il ne vous est jamais donné à la place de la réponse.
Trois questions partagent cette page parce qu’elles partagent un même savoir-faire. Simplifier, c’est trouver la plus grande puissance parfaite dans le radicande. Additionner vous dit si deux radicaux sont des termes semblables, ce que vous ne pouvez pas savoir avant de les avoir simplifiés tous les deux. Rendre rationnel, c’est chasser une racine d’un dénominateur avec la racine elle-même ou avec le conjugué. Les trois se ramènent à la même règle : la racine d’un produit est le produit des racines.
Ce qu’il faut remarquer
- Sortez la PLUS GRANDE puissance parfaite, pas la première que vous voyez. 72, c’est 4 fois 18, et s’arrêter là laisse √18, qui n’est pas encore la forme la plus simple. C est aussi 36 fois 2, et 6√2 est terminé.
- La décomposition en facteurs premiers est l’endroit où vit la puissance parfaite. Une fois 72 écrit 2³·3², chaque paire de premiers identiques est un facteur qui peut sortir du signe de la racine carrée.
- Deux radicaux ne s’additionnent que si les nombres restés sous leurs signes sont identiques. √8 + √18 marche, car les deux sont en secret des multiples de √2. √8 + √27 ne marche pas, et 2√2 + 3√3 est la réponse finale.
- Une fraction sous le signe et une racine au dénominateur sont le même problème. La racine de deux tiers n’est pas sous sa forme la plus simple ; multiplier à l’intérieur par 3/3 la change en √6/3, qui l’est.
- L indice dit quelle puissance sort. Sous une racine carrée il faut des paires, sous une cubique des triplets, sous une quatrième des groupes de quatre. C est pourquoi la racine cubique de 54 donne 3 et non 6.
Comment simplifier un radical à la main
Décomposez le radicande en premiers
Écrivez le nombre sous le signe comme produit de premiers. Pour 72, c’est 2·2·2·3·3, soit 2³·3². Le faire d’abord évite de deviner si un carré parfait s’y cache.
Regroupez les premiers selon l’indice
Pour une racine carrée, réunissez les premiers par paires ; pour une cubique, par triplets. Dans 72, les paires sont 2·2 et 3·3, et il reste un 2 tout seul.
Chaque groupe complet fait sortir un facteur
Chaque paire donne une seule copie de ce premier hors du radical. La paire de 2 donne un 2 et celle de 3 donne un 3, donc 6 sort, et le 2 solitaire reste dessous : 6√2.
Chassez toute fraction de sous le signe
S il reste un dénominateur à l’intérieur, multipliez le haut et le bas intérieurs par ce qui rend le bas une puissance parfaite. Pour deux tiers, multipliez par 3/3 pour obtenir 6/9, d’où sort √6/3.
Vérifiez en élevant votre réponse au carré
6√2 au carré, c’est 36 fois 2, soit 72. Cette vérification attrape en une ligne l’erreur la plus courante : avoir sorti un facteur trop petit laisse un carré inférieur au radicande.
Radicaux sous leur forme la plus simple
Les cas les plus fréquents, avec à chaque fois la puissance parfaite qui fait le travail.
| Radical | Puissance parfaite à l’intérieur | Forme la plus simple | Environ |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | aucune : chassez le 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | aucune : rendez rationnel | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | aucune : conjugué | 2 - √3 | 0.268 |
Exemples résolus
Avec un coefficient devant : 3√8
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3*sqrt(8)Simplifiez d’abord le radical : √8 vaut 2√2. Puis multipliez les coefficients : 3·2 = 6, la réponse est donc 6√2. Le coefficient ne passe jamais sous le signe.
Additionner ce qui semble inadditionnable : √8 + √18
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sqrt(8) + sqrt(18)Aucun des deux termes ne mentionne √2 avant simplification : √8 vaut 2√2 et √18 vaut 3√2. Ce sont maintenant des termes semblables, donc on additionne les coefficients : 5√2.
Radicaux non semblables : √8 + √27
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sqrt(8) + sqrt(27)Simplifiés, ce sont 2√2 et 3√3. Des nombres différents sous les signes signifie qu’ils ne sont pas des termes semblables, donc 2√2 + 3√3 est la réponse : il n’y a plus rien à faire.
Une racine au dénominateur : 3 sur √2
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3/sqrt(2)Multipliez le haut et le bas par √2. La valeur ne change pas, car √2/√2 vaut 1, et le bas devient 2. La réponse est 3√2/2.
Le conjugué : 1 sur 2 + √3
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1/(2 + sqrt(3))Multipliez le haut et le bas par 2 − √3. Le bas devient 2² − (√3)², soit 4 − 3 = 1, donc l’ensemble vaut exactement 2 − √3.
Erreurs fréquentes
- Sortir le premier carré parfait au lieu du plus grand. Écrire √72 comme 2√18 est vrai mais inachevé, et compté faux à la question « forme radicale la plus simple ».
- Répondre par un décimal. 8,485 n’est pas la racine carrée de 72 ; c’en est un arrondi. Si la question emploie un signe radical, la réponse en garde un, sauf si la racine sort exactement.
- Additionner les nombres sous les signes. √4 + √9 vaut 2 + 3 = 5, pas √13. Les racines ne s’additionnent qu’en tant que termes semblables, jamais à l’intérieur du signe.
- Multiplier des radicaux d’indices différents. √2 fois ∛2 n’est ni √2 ni ∛4 : la règle du produit exige que les deux indices coïncident avant toute combinaison.
- Laisser une racine au dénominateur. √2/2 et 1/√2 sont le même nombre, mais seul le premier est sous sa forme la plus simple ; le second garde une racine en bas.
- Traiter la racine d’une somme comme une somme de racines. La racine de 9 + 16 vaut √25 = 5, pas 3 + 4 = 7. La règle du produit sépare les produits, pas les sommes.
- Oublier qu’une racine d’indice pair d’un négatif n’est pas réelle, alors qu’une racine impaire l’est. Il n’existe pas de racine quatrième réelle de −16, mais la racine cubique de −8 vaut exactement −2.
FAQ sur les radicaux
Qu est-ce que la forme radicale la plus simple ?
Un radical est sous sa forme la plus simple quand le nombre sous le signe ne garde aucun facteur qui soit une puissance parfaite, qu’il n’y a pas de fraction sous le signe et pas de radical au dénominateur. Donc 6√2 est la forme la plus simple et 2√18 non, même s’ils valent la même chose.
Comment simplifier une racine carrée ?
Décomposez le radicande en premiers, réunissez les premiers par paires et envoyez une copie de chaque paire hors du signe. Ce qui reste dépareillé demeure dessous. √72 devient 6√2 parce que 72 vaut 2³·3².
Pourquoi ne pas simplement donner le décimal ?
Parce qu’un décimal est une approximation et un radical est exact. √2 n’a pas de décimal fini, donc 1,414 est déjà faux à la quatrième décimale ; les réponses d’examen, l’algèbre qui suit et toute simplification ultérieure ont besoin de la forme exacte pour rester justes.
Quand peut-on additionner deux radicaux ?
Seulement quand les nombres restés sous les signes sont égaux après simplification et que les indices coïncident. Ils se comportent alors comme x + x : on additionne les coefficients et on garde le radical. √8 + √18 vaut 5√2 ; √8 + √27 ne se combine pas du tout.
Comment rendre un dénominateur rationnel ?
Si le dénominateur est une seule racine, multipliez le haut et le bas par cette racine. S il s’agit d’une somme ou d’une différence comme 2 + √3, multipliez par son conjugué, 2 − √3 : la différence de carrés obtenue ne contient plus de racine. Dans les deux cas vous multipliez par 1, donc la valeur ne change jamais.
Qu est-ce qu’un conjugué ?
Les deux mêmes termes avec le signe du milieu inversé : le conjugué de 3 − 2√2 est 3 + 2√2. Multiplier un binôme par son conjugué donne une différence de carrés, et élever une racine carrée au carré la supprime, ce qui nettoie le dénominateur.
Puis-je simplifier des racines cubiques et quatrièmes ici ?
Oui, tout indice de 2 à 6. La règle se généralise : sous une racine cubique on cherche des triplets de premiers identiques au lieu de paires, donc la racine cubique de 54 vaut 3∛2 parce que 54 vaut 27 fois 2.
Pourquoi √(2/3) n’est-il pas égal à √2/√3 ?
Il l’est : ce sont le même nombre, et aucun des deux n’est sous sa forme la plus simple. La racine de deux tiers vaut √2/√3, et multiplier le haut et le bas par √3 donne √6/3, qui n’a plus de racine au dénominateur et constitue la réponse finale.
