점-기울기 꼴

직선에 관한 문제는 거의 언제나 한 점과 기울기, 또는 두 점을 줍니다. y절편을 주는 문제는 거의 없습니다. 그런데도 사람들이 쓸 줄 아는 꼴은 대개 y = mx + b 하나뿐이라, 아무도 묻지 않은 b를 구하는 데 한 줄 반을 씁니다.

점-기울기 꼴은 그 단계를 건너뜁니다. 아래 점을 끌어 보고 식이 따라오는 것을 보세요.

공식은 어디서 오는가

기울기는 직선 위 아무 두 점 사이의 '세로 변화량 나누기 가로 변화량'입니다. 그중 하나를 아는 점 (x₁, y₁)에 고정하고, 다른 하나는 일반적인 점 (x, y)라고 두세요. 그러면

m = (y - y₁)/(x - x₁)

양변에 x - x₁을 곱하면 분수가 사라집니다.

y - y₁ = m(x - x₁)

유도는 이게 전부입니다. 점-기울기 꼴은 새로운 생각이 아니라 나눗셈을 되돌린 기울기 공식일 뿐입니다. 그래서 직선 위 모든 점이 이를 만족하고, 직선 위의 어느 점에서 출발해도 통합니다.

두 뺄셈은 모두 당신의 점에서 잰 거리입니다

두 개의 빼기 기호는 서로 다른 축에서 같은 일을 합니다. x₁에서 얼마나 갔는지, y₁에서 얼마나 올라갔는지. 그렇게 읽으면 부호는 더 이상 외울 것이 아닙니다.

좌표가 음수일 때는 물어뜯습니다. (-3, 4)를 지나는 기울기 2인 직선은

y - 4 = 2(x + 3)

입니다. -3을 빼는 것은 3을 더하는 것이니까요. 거기서 더하기가 나오는 것은 실수가 아닙니다. x - 3이라고 쓰는 쪽이 실수입니다.

그림의 점을 제3사분면으로 옮기고 두 부호가 모두 뒤집히는 것을 보세요. 이 꼴에서 오답을 가장 많이 만드는 부분이고, 삼십 초 들여다보는 편이 규칙 하나보다 낫습니다.

두 점, 하나의 직선

(1, 1)과 (4, 7)이 주어졌다고 합시다. 먼저 기울기를 구하고, 두 점 중 아무거나 넣습니다.

m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2

첫 번째 점을 쓰면 y - 1 = 2(x - 1)이 나오고, 두 번째를 쓰면 y - 7 = 2(x - 4)가 나옵니다. 전혀 닮지 않았는데 같은 직선입니다. 어느 쪽이든 전개하면 y = 2x - 1이 됩니다.

의심하기보다 믿을 만한 사실입니다. 답이 해설과 달라 보이면, 틀렸다고 단정하기 전에 둘 다 전개해 보세요.

기울기-절편 꼴로 바꾸기

문제가 정말 y = mx + b를 원한다면 두 동작이면 됩니다. 괄호를 풀고 y를 혼자 두는 것.

y - 3 = 2(x - 1)에서 시작하면, 풀어서 y - 3 = 2x - 2가 되고 양변에 3을 더하면 y = 2x + 1입니다.

한 번도 생각할 필요가 없던 b가 마지막에 나타납니다. 그게 요점입니다. 일은 점-기울기 꼴이 했고, 기울기-절편 꼴은 서식일 뿐입니다.

하나 풀어 보기

y - 3 = 2(x - 1)

여기서 가장 흔한 실수는 2(x - 1)을 2x - 1로 푸는 것입니다. 2는 괄호 안의 두 항 모두에 닿아야 합니다. 분배법칙이 늘 하던 일을 하는 것뿐입니다.

어떤 문제에 어떤 꼴인가

점-기울기는 직선을 쓰는 꼴이고, 기울기-절편은 직선을 읽는 꼴입니다. 대부분의 문제는 이 순서로 둘 다 필요합니다.