30-60-90 삼각형

모든 직각삼각형에는 변끼리의 비가 있습니다. 거의 모든 경우 그 비는 계산기가 필요한 지저분한 소수입니다. 정확히 둘만이 적어 둘 수 있는 짧고 정확한 식이고, 그래서 이 둘은 문제마다 되풀이해 나타납니다.

아래에서 둘을 오가고 크기도 바꿔 보세요.

30-60-90은 어디서 오는가

정삼각형에서 시작합니다. 세 변이 같고 세 각이 모두 60°. 그것을 한가운데에서, 꼭짓점부터 밑변의 중점까지 자릅니다.

자른 선은 밑변에 수직이므로 직각이 생깁니다. 밑변 쪽 60° 각 하나는 손대지 않은 채 남습니다. 꼭짓점의 60°는 반으로 갈라져 30°가 됩니다. 이것이 당신의 30-60-90 삼각형이고, 변의 길이를 이미 알던 도형에서 나왔습니다.

이제 변을 읽어 봅시다. 정삼각형의 변이 2였다면 반쪽의 빗변은 여전히 2이고 밑변은 반으로 줄어 1입니다. 높이는 피타고라스에서 나옵니다.

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3이므로 h = sqrt(3).

변 1, sqrt(3), 2 — 이것이 비이고, 측정이 아니라 정확한 작도에서 왔기에 정확합니다.

어느 변이 어디로 가는가

실수 대부분을 막아 주는 규칙: 가장 큰 변은 가장 큰 각의 맞은편에 있다.

그러니 빗변은 짧은 변의 두 배이지 긴 변의 두 배가 아닙니다. 그리고 sqrt(3)이 약 1.73이므로 긴 변은 나머지 둘 사이에 놓입니다. 써 놓은 답을 빠르게 점검하는 방법이 되지요.

45-45-90은 반으로 자른 정사각형입니다

같은 수법, 다른 도형. 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자릅니다. 남은 두 각은 45°, 두 변은 같고 대각선이 빗변입니다.

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2이므로 d = sqrt(2).

비는 1 : 1 : sqrt(2). 이 삼각형은 정사각형이 있는 곳이면 어디든 나타납니다. 화면의 대각선, 타일, 체스판.

빠진 변 찾기

언제나 짧은 변으로 되돌아간 다음 키우세요.

빗변이 주어진 경우. 빗변이 14인 30-60-90: 반으로 나누면 짧은 변은 7이고 긴 변은 7sqrt(3).

긴 변이 주어진 경우. 긴 변이 9인 30-60-90: sqrt(3)으로 나누면 짧은 변은 3sqrt(3)이고, 따라서 빗변은 6sqrt(3).

45-45-90의 한 변이 주어진 경우. 다른 변도 같고, 빗변은 그 변의 sqrt(2)배입니다.

이 대목을 읽으면서 그림의 슬라이더를 움직여 보세요. 위의 계산은 같은 읽음값을 세 가지 크기에서 본 것에 지나지 않습니다.

하나 풀어 보기

30-60-90 삼각형의 짧은 변이 6입니다. 긴 변은 얼마일까요?

30-60-90 삼각형의 짧은 변이 6입니다. 60도 각의 맞은편 변의 길이는 얼마일까요?

10.39이 아니라 6sqrt(3) 그대로 두세요. 문제의 다음 단계가 실제로 쓸 수 있는 것은 정확한 꼴이고, 채점자가 찾는 것도 그것입니다.

정확한 삼각비가 곧바로 떨어집니다

이 두 삼각형은 변이 정확하므로 사인과 코사인도 정확합니다. 단위원 표에 적힌 숫자들이 바로 여기서 나옵니다.

제1사분면 전체에서 서로 다른 값은 셋뿐이고, 30°와 60°는 같은 짝이 뒤바뀐 것입니다. 하나의 삼각형을 두 예각에서 읽었다면 당연히 그렇게 되겠지요.