Carbono-14 tras tres semividas
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N₀ = 100, t = 17 190 años, t½ = 5730 añost/t½ = 17 190 / 5730 = 3. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12,5. Si empiezas con 100 g, quedan 12,5 g; si empiezas con el 100 %, queda el 12,5 %.
Calculadora de semivida
La cantidad que queda tras la desintegración radiactiva, el tiempo que ha pasado o el periodo de semidesintegración.
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La fórmula del periodo de semidesintegración y lo que dice
Una muestra radiactiva se desintegra a un ritmo fijado por su periodo de semidesintegración, o semivida, t½: el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los átomos. Sea cual sea la cantidad inicial, tras una semivida queda la mitad, tras dos la cuarta parte y tras tres la octava parte. La fórmula es N = N₀(½)^(t/t½), donde N₀ es la cantidad inicial, N la cantidad que queda y t el tiempo transcurrido.
El exponente t/t½ cuenta cuántas semividas han pasado, y no tiene por qué ser un número entero. Para volver hacia atrás hasta el tiempo, toma un logaritmo en base 2: t = t½ · log₂(N₀/N). Si 80 g se han convertido en 10 g, N₀/N = 8 y log₂ 8 = 3, así que han pasado tres semividas. La semivida no depende de cuánto material tengas: un gramo y una tonelada de yodo-131 se reducen a la mitad en 8,02 días.
La calculadora despeja de la fórmula la magnitud que dejes en blanco: la cantidad que queda, la cantidad inicial, el tiempo o la semivida. Las dos cantidades pueden estar en cualquier unidad, gramos, átomos, un porcentaje o becquerelios de actividad, siempre que las dos usen la misma. Los tiempos pueden estar en segundos, minutos, horas, días o años (aquí un año son 365,25 días), y el tiempo y la semivida pueden usar unidades distintas: los dos se pasan antes a segundos, y el resultado se da en la unidad que elijas y en las demás.
En qué fijarse
- Tras 1, 2, 3, 4 y 5 semividas la fracción que queda es del 50 %, 25 %, 12,5 %, 6,25 % y 3,125 %. Cada semivida reduce a la mitad lo que queda, no lo que había al principio.
- En la fórmula, la desintegración nunca llega del todo a cero. Tras 10 semividas queda alrededor del 0,1 %; tras 20, más o menos una millonésima.
- Las cantidades solo aparecen como cociente, N₀/N, así que su unidad se simplifica. Sirven la masa, el número de átomos, el porcentaje y la actividad en becquerelios, si las dos cantidades usan la misma.
- El tiempo y la semivida tienen que estar en la misma unidad antes de dividirlos. 24 horas y una semivida de 6,01 horas dan 24 / 6,01 = 3,99 semividas.
- La constante de desintegración es λ = ln 2 / t½, la fracción que se desintegra por unidad de tiempo. N = N₀e^(−λt) es la misma ley escrita con e en lugar de ½.
Cómo resolver problemas de semivida
Apunta lo que conoces
Tres de los cuatro valores: la cantidad inicial N₀, la cantidad que queda N, el tiempo t y la semivida t½.
Pon el tiempo y la semivida en la misma unidad
Horas con horas, años con años. 2 días son 48 horas; un año son 365,25 días.
Para la cantidad que queda, eleva ½ a t/t½
N = N₀ · (½)^(t/t½). 100 g de carbono-14 tras 17 190 años: 17 190 / 5730 = 3, y 100 · (½)³ = 12,5 g.
Para el tiempo, toma un logaritmo en base 2
t = t½ · log₂(N₀/N). Del 100 % al 25 % hay log₂ 4 = 2 semividas; para el carbono-14 son 2 · 5730 = 11 460 años. En una calculadora sin log₂, usa log₂ x = ln x / ln 2.
Semividas de isótopos conocidos
Valores de referencia redondeados. Van de minutos a miles de millones de años, por eso la calculadora acepta tiempos desde segundos hasta años.
| Isótopo | Semivida | Dónde lo encuentras |
|---|---|---|
| Flúor-18 | 110 minutos | Tomografías PET |
| Tecnecio-99m | 6,01 horas | El trazador más usado en pruebas médicas |
| Radón-222 | 3,82 días | Un gas que se filtra desde las rocas a los sótanos |
| Yodo-131 | 8,02 días | Tratamiento de la tiroides |
| Polonio-210 | 138 días | Fuentes alfa |
| Cobalto-60 | 5,27 años | Radioterapia, esterilización de material médico |
| Hidrógeno-3 (tritio) | 12,3 años | Señales de salida luminosas y esferas de reloj |
| Cesio-137 | 30,1 años | La lluvia radiactiva de Chernóbil y Fukushima |
| Radio-226 | 1600 años | Pintura luminosa antigua |
| Carbono-14 | 5730 años | Datación por radiocarbono |
| Plutonio-239 | 24 100 años | Reactores nucleares |
| Uranio-235 | 704 millones de años | Combustible nuclear |
| Potasio-40 | 1250 millones de años | Los plátanos, el cuerpo humano, la datación de rocas |
| Uranio-238 | 4470 millones de años | La datación de las rocas más antiguas de la Tierra |
Ejemplos resueltos
La semivida a partir de dos medidas
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 dDespeja la semivida: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 días. Se acerca a los 8,02 días del yodo-131. Pon la casilla de la semivida en días y el resultado será 8; también se da en segundos, horas y años.
Cuánto falta para que quede la cuarta parte
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N₀ = 1, N = 0,25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 días. La cuarta parte son dos reducciones a la mitad, así que el tiempo son dos semividas.
Un trazador médico al cabo de un día
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6,01 hTecnecio-99m: t/t½ = 24 / 6,01 = 3,993 semividas, que no es un número entero, y no pasa nada. N = 100 · (½)^3,993 = 6,28, así que al cabo de un día queda el 6,28 % de la dosis.
Datación por carbono
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5730 añosUn hueso con el 25 % del carbono-14 de un tejido vivo: t = 5730 · log₂(100 / 25) = 5730 · 2 = 11 460 años de antigüedad.
Errores frecuentes
- Pensar que todo ha desaparecido tras dos semividas. En la primera se va la mitad, y luego la mitad de lo que queda: tras dos queda el 25 % y tras tres el 12,5 %.
- Restar en lugar de dividir entre dos. Tras cada semivida la cantidad se multiplica por ½; no baja la misma cantidad cada vez.
- Dividir el tiempo entre la semivida cuando están en unidades distintas. 24 horas entre una semivida de 8,02 días tiene que pasar antes a 1 día entre 8,02 días.
- Usar unidades distintas para las dos cantidades. N en gramos y N₀ en porcentaje dan un cociente sin sentido; las dos tienen que estar en gramos, en átomos o en porcentaje.
- Tomar ln o log₁₀ de N₀/N y olvidar dividir entre ln 2 o log₁₀ 2. El tiempo es t½ · log₂(N₀/N), y log₂ x = ln x / ln 2.
- Intercambiar N y N₀. La cantidad inicial es la mayor; N₀/N es mayor que 1 para cualquier cosa que se haya desintegrado.
Preguntas frecuentes sobre el periodo de semidesintegración
¿Cuál es la fórmula del periodo de semidesintegración?
N = N₀(½)^(t/t½), donde N₀ es la cantidad inicial, N la cantidad que queda tras un tiempo t y t½ la semivida. El exponente t/t½ es el número de semividas que han pasado.
¿Cómo se calcula la semivida?
Mide la cantidad al principio y al cabo de un tiempo conocido, y usa t½ = t / log₂(N₀/N). Si 80 unidades bajan a 10 en 24 días, log₂ 8 = 3, así que la semivida es 24 / 3 = 8 días.
¿Cómo se halla el tiempo a partir de la semivida?
Usa t = t½ · log₂(N₀/N). El logaritmo cuenta las reducciones a la mitad: del 100 % al 12,5 % hay log₂ 8 = 3 semividas, así que con una semivida de 5730 años el tiempo es de 17 190 años.
¿Cuánto queda tras 3 semividas?
La octava parte, el 12,5 %. Cada semivida reduce a la mitad lo que queda: el 50 % tras una, el 25 % tras dos, el 12,5 % tras tres, el 6,25 % tras cuatro y el 3,125 % tras cinco.
¿Puedo usar gramos, átomos o porcentajes para las cantidades?
Sí. La fórmula solo usa el cociente de las dos cantidades, así que vale cualquier unidad siempre que la cantidad que queda y la inicial usen la misma. La actividad en becquerelios también sirve, porque disminuye con la misma semivida.
¿Qué es la constante de desintegración?
La constante de desintegración λ es la fracción de átomos que se desintegran por unidad de tiempo, y λ = ln 2 / t½. Para el carbono-14 es 0,693 / 5730 = 1,21 × 10⁻⁴ por año. La ley se puede escribir entonces N = N₀e^(−λt).
¿Cómo usa la semivida la datación por carbono?
Los seres vivos incorporan carbono-14 y mantienen la misma proporción que el aire. Al morir, se desintegra con una semivida de 5730 años. Mide la fracción que queda y t = 5730 · log₂(N₀/N) da la edad: si queda el 25 %, son 11 460 años.
