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Potenzen mit benannter Regel, auch die negativen und gebrochenen.
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Bei einem ganzen Exponenten gibt es nichts zu erklären: 2⁵ heißt fünf Zweien multipliziert, also 32. Interessant sind die Fälle, in denen der Exponent keine Faktoren mehr zählt, und das sind drei: null, negativ und gebrochen. Hinter jedem steht eine Regel, und alle folgen aus derselben Tatsache - dass das Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis ihre Exponenten addiert.
Null: 2³ ÷ 2³ ist 1, und das Subtrahieren der Exponenten ergibt 2⁰, also muss 2⁰ gleich 1 sein - für jede Basis außer 0 selbst. Negativ: 2³ ÷ 2⁵ ist 1/4, und das Subtrahieren ergibt 2⁻², ein negativer Exponent ist also ein KEHRWERT und niemals eine negative Antwort. Gebrochen: 2^(1/2) mal 2^(1/2) ist 2¹, also ist 2^(1/2) das, was quadriert 2 ergibt - die Quadratwurzel.
Alles hier ist exakt. 2⁻³ ist 1/8 und nicht 0,125, (2/3)³ ist 8/27, 9^(1/2) ist genau 3, und 8^(1/2) bleibt 2√2 statt zu 2,828 zusammenzufallen. Eine Dezimalzahl steht neben der exakten Antwort, wenn es eine gibt, und ist als Näherung gekennzeichnet, wenn sie eine ist.
Ist es negativ, schreib den Kehrwert und mach den Exponenten positiv: 2⁻³ wird 1/2³. Das zuerst zu tun verhindert den Klassiker, −8 zu antworten.
Ein gebrochener Exponent ist eine Wurzel. Der untere Teil wählt die Wurzel, der obere ist die Potenz: x^(m/n) ist die n-te Wurzel aus x^m.
Potenziere Zähler und Nenner getrennt. (2/3)³ ist 2³ über 3³, also 8/27.
Ein ganzer Exponent ist nun einfach wiederholte Multiplikation. Achte auf das Vorzeichen: eine ungerade Anzahl negativer Faktoren lässt eine negative Antwort übrig.
Dreh das eben berechnete Ergebnis um. 1/2³ ist 1/8 - und prüf, dass die Antwort kleiner als 1 ist, was ein negativer Exponent bei einer Basis größer als 1 immer liefert.
Die vier Fälle, die keine einfache wiederholte Multiplikation sind, neben denen, die es sind.
| Potenz | Regel | Exakte Antwort | Als Dezimalzahl |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | wiederholte Multiplikation | 32 | 32 |
| 2⁰ | jede Basis außer 0 hoch 0 ist 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | negativer Exponent ist ein Kehrwert | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | Zähler und Nenner potenzieren | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | gebrochener Exponent ist eine Wurzel | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | Wurzel vereinfacht, nicht gerundet | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | gerader Exponent, Minuszeichen paaren sich | 16 | 16 |
| (−2)³ | ungerader Exponent, ein Minus bleibt | −8 | −8 |
2^5Fünf Zweien multipliziert: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Das ist der einzige Fall, in dem der Exponent wirklich Faktoren zählt, und er lohnt sich einmal ausgeschrieben, damit die Fälle darunter als Abweichungen davon sichtbar werden.
2^-3Nicht −8. Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert: 2⁻³ ist 1/2³ = 1/8. Der Grund ist die Division - 2² ÷ 2⁵ ist 1/8, und das Subtrahieren der Exponenten ergibt 2⁻³, beide müssen also gleich sein. Die Antwort ist positiv und kleiner als 1.
(2/3)^3Beide Teile werden hoch drei genommen: 2³ über 3³, also 8/27. Nur den Zähler zu potenzieren - ein sehr häufiger Ausrutscher - ergäbe 8/3, mehr als achtmal zu groß. Als Dezimalzahl ist es 0,296… und bricht nie ab, der Bruch ist also die ehrliche Antwort.
9^1/2Eine Potenz von 1/2 ist eine Quadratwurzel, das ist also √9 = 3 genau. Der Grund: 9^(1/2) mal 9^(1/2) addiert die Exponenten zu 9¹, also muss 9^(1/2) die Zahl sein, die quadriert 9 ergibt.
8^1/2√8 ist irrational, die Antwort bleibt also eine Wurzel - vereinfacht zu 2√2, indem der quadratische Faktor 4 herausgezogen wird. Die Dezimalzahl 2,828… steht als Näherung daneben, niemals an ihrer Stelle.
(-2)^4Vier negative Faktoren paaren sich zu zwei positiven Produkten, also (−2)⁴ = 16. Drei lassen ein Minuszeichen ohne Partner, also (−2)³ = −8. Allein der Exponent entscheidet das Vorzeichen - und beachte: −2⁴ ohne Klammern heißt −(2⁴) = −16, das ist eine andere Frage.
