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Vereinfachen-Rechner

Terme vereinfachen, ausmultiplizieren oder faktorisieren - Schritt für Schritt.

Von Nethanel Bar, Co-founder & CEO

Zuletzt aktualisiert

Willst du das ohne Rechner lösen können?

Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.

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«Vereinfachen» sind drei verschiedene Aufträge in einem Wort

Vereinfachen heißt meist: gleichartige Glieder zusammenfassen und die Rechnung fertig machen. Ausmultiplizieren heißt: die Klammern auflösen, auch wenn der Term dadurch länger wird. Faktorisieren ist das Gegenteil - ihn als Produkt schreiben. Alle drei heißen irgendwann im Schuljahr «vereinfachen», und derselbe Term hat für jede eine andere richtige Antwort. Deshalb fragt diese Seite, welche du willst, statt zu raten.

Die Schritte sind der Punkt. Jede Zeile sagt, was gemacht wurde - ausmultiplizieren, zusammenfassen, den gemeinsamen Faktor kürzen, die Wurzel reduzieren - und zeigt den Term, der dabei entstand. Diese Namen sind dieselben, die der Coddy-Mathekurs an seiner interaktiven Tafel benutzt, denn Rechner und Kurs laufen auf einer Engine.

Alles bleibt exakt. Drei Viertel plus fünf Sechstel sind neunzehn Zwölftel, nicht 1,5833333; die Wurzel aus 12 wird 2√3 und nicht 3,464. Ein Dezimalergebnis ist eine Rundung des richtigen, und bei einer Aufgabe über Brüche oder Wurzeln gilt eine Rundung als falsch.

Worauf man in den Schritten achtet

  • Gleichartige Glieder haben dieselben Buchstaben mit denselben Exponenten. 5x und -2x sind gleichartig; 5x und 5x² nicht, und nichts wird sie zusammenführen.
  • Ausmultiplizieren und Vereinfachen sind nicht derselbe Auftrag. (x + 2)(x - 3) ausmultipliziert ist x² - x - 6 - als Summe ist das die einfachste Form, die faktorisierte liest sich aber einfacher.
  • Ein Bruch ist erst gekürzt, wenn nichts mehr Zähler und Nenner gleichzeitig teilt - und dazu gehört eine gemeinsame Klammer, nicht nur eine Zahl.
  • Die Reihenfolge entscheidet über den Aufwand, nicht über die Richtigkeit: erst ausmultiplizieren, dann zusammenfassen. Umgekehrt macht man es meist zweimal.
  • Das Bruchrechnen ist der Schritt, den man überspringt und dann verliert. Genau deshalb ist er hier eine eigene Zeile.

So benutzt du den Rechner

  1. Term eingeben

    Wie auf Papier: 2(x - 3) + 4x - 5, x/2 + x/3, sqrt(12), (x^2 - 9)/(x + 3). ^ für Potenzen, sqrt(...) für Wurzeln.

  2. Form wählen

    Einfachste Form, ausmultipliziert oder faktorisiert. Wenn in der Aufgabe nur «vereinfachen» steht, nimm die einfachste Form - das meint das Wort meistens.

  3. Die Schrittnamen lesen

    Jede Zeile sagt, welcher Umformungsschritt gemacht wurde. Wenn du begründen kannst, warum dieser Schritt als Nächstes kam, schaffst du die nächste Aufgabe ohne diese Seite.

  4. Mit dem eigenen Rechenweg vergleichen

    Weicht dein Ergebnis ab, ist die nützliche Frage nicht, welches stimmt, sondern in welcher Zeile die Wege auseinandergehen. Diese Zeile erklärt den Fehler fast immer selbst.

Was jeder Auftrag bedeutet

Derselbe Term, drei Formen - und je nach Aufgabenstellung drei verschiedene richtige Antworten.

AuftragBeispielErgebnis
Vereinfachen5x - 2x + 73x + 7
Vereinfachen (Klammern)2(x - 3) + 4x - 56x - 11
Vereinfachen (Brüche)3/4 + 5/619/12
Vereinfachen (Bruchterm)(x² - 9)/(x + 3)x - 3
Vereinfachen (Wurzel)√122√3
Ausmultiplizieren(x + 2)(x - 3)x² - x - 6
Ein Quadrat ausmultiplizieren(2x + 1)²4x² + 4x + 1
Faktorisierenx² - 5x + 6(x - 2)(x - 3)

Durchgerechnete Beispiele

Zusammenfassen: 5x - 2x + 7

plain
5x - 2x + 7

5x - 2x ist 3x, und die 7 hat nichts, womit sie sich verbinden könnte - also 3x + 7. Beachte, was NICHT passiert: 3x und 7 werden nicht 10x. Glieder mit Buchstaben und Glieder ohne sind niemals gleichartig, und allein diese Verwechslung erklärt einen großen Teil der verlorenen Punkte in der ersten Algebra.

Erst die Klammern: 2(x - 3) + 4x - 5

plain
2(x - 3) + 4x - 5

Ausmultiplizieren ergibt 2x - 6 + 4x - 5, Zusammenfassen dann 6x - 11. Der umgekehrte Weg - 2(x - 3) mit 4x verbinden zu wollen, bevor ausmultipliziert ist - ist die Quelle des klassischen Fehlers 6(x - 3).

Ein Bruchterm: (x² - 9)/(x + 3)

plain
(x^2 - 9)/(x + 3)

Faktorisiere den Zähler zu (x - 3)(x + 3), dann kürzt sich (x + 3) und es bleibt x - 3. Kürzen darf man nur einen ganzen Faktor, deshalb kommt die Faktorisierung zuerst: x² gegen x zu streichen ist nicht erlaubt und liefert das falsche Ergebnis.

Brüche: 3/4 + 5/6

plain
3/4 + 5/6

Der Hauptnenner ist 12, also 9/12 + 10/12 = 19/12. Die Antwort bleibt ein Bruch: 19/12 ist exakt, 1,5833... ist eine Rundung davon. Ging die Aufgabe über Brüche, ist der Bruch die Antwort.

Häufige Fehler

  • Nicht gleichartige Glieder zusammenfassen. 3x + 4 bleibt 3x + 4 und ist nie 7x, so kurz das auch aussieht.
  • Nur auf das erste Glied verteilen. 2(x - 3) ist 2x - 6, nicht 2x - 3.
  • Über eine Summe kürzen. In (2x + 4)/2 werden beide Glieder durch 2 geteilt, das ergibt x + 2 - nie 2x + 2.
  • Eine Summe gliedweise quadrieren. (x + 3)² ist x² + 6x + 9, nicht x² + 9; das gemischte Glied wird am häufigsten vergessen.
  • Einen exakten Wert in eine Dezimalzahl verwandeln. √12 wird zu 2√3; 3,46 verliert genau die Exaktheit, die geprüft wurde.
  • Vorzeichenfehler beim Subtrahieren einer Klammer. 5 - (x - 2) ist 5 - x + 2 = 7 - x; das Minus gilt für alles in der Klammer.

Häufige Fragen

Was heißt es, einen Term zu vereinfachen?
Denselben Wert kürzer und ordentlicher schreiben: ausmultiplizieren, was ausmultipliziert werden muss, gleichartige Glieder zusammenfassen, die Rechnung fertig machen und jeden Bruch oder jede Wurzel reduzieren. Am Wert ändert sich nichts - nur an der Schreibweise.
Was ist der Unterschied zwischen Vereinfachen und Ausmultiplizieren?
Ausmultiplizieren heißt Klammern auflösen, was den Term oft verlängert. Vereinfachen heißt, ihn in die ordentlichste Form zu bringen, was meist Ausmultiplizieren und danach Zusammenfassen einschließt. Diese Seite lässt dich beides anfordern, weil Aufgaben beides mit demselben Wort verlangen.
Woran erkenne ich, dass ein Term vollständig vereinfacht ist?
Wenn nichts mehr auszumultiplizieren ist, keine zwei Glieder mehr zusammengefasst werden können, keine Rechnung offen ist und kein Bruch und keine Wurzel sich reduzieren lässt. Genau dort hört die Seite auf, und die letzte Zeile ist dieser Zustand.
Vereinfacht sie auch Brüche mit Buchstaben?
Ja. (x² - 9)/(x + 3) wird x - 3, und die Schritte zeigen, warum: der Zähler faktorisiert und die gemeinsame Klammer kürzt sich. Was kein ganzer Faktor ist, wird nie gekürzt, denn das ist nicht erlaubt.
Sind die Ergebnisse exakt?
Immer. Brüche bleiben Brüche, Wurzeln bleiben Wurzeln, und nichts wird in Fließkomma gerechnet. Das ist Absicht: 0,6666666667 ist auf eine Weise falsch, wie 2/3 es nicht ist.
Kann ich damit Hausaufgaben prüfen?
Ja, und sinnvoll ist es, die Aufgabe zuerst selbst zu rechnen und dann die Wege statt der Ergebnisse zu vergleichen. Zwei richtige Methoden können zum selben Term führen; interessant ist der Schritt, an dem dein Weg abwich.
Warum wird jeder Schritt benannt?
Weil der Name der übertragbare Teil ist. «Gleichartige Glieder zusammenfassen» ist ein Schritt, nach dem du nächstes Mal suchen kannst; eine unerklärt aufgetauchte Zeile Algebra ist das nicht. Die Namen hier sind dieselben wie im Coddy-Mathekurs.

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