Der Klassiker: √72
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sqrt(72)72 = 2³·3². Die Paare sind 2·2 und 3·3, die eine 2 und eine 3 nach draußen schicken und eine 2 drinnen lassen. Also ist √72 = 6√2, und quadriert ergibt das 36·2 = 72.
Wurzelrechner
Wurzeln vereinfachen, zusammenfassen und Nenner rational machen – die Antwort ist eine Form, keine Dezimalzahl.
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Die Antwort auf eine Wurzelaufgabe ist eine Form, keine Dezimalzahl
Ein Taschenrechner sagt Ihnen, die Quadratwurzel aus 72 sei 8,4852814. Das ist fast nie die Antwort, die eine Wurzelaufgabe verlangt. Verlangt wird 6 mal die Quadratwurzel aus 2 – dieselbe Größe, aber so geschrieben, dass unter dem Zeichen keine vollständige Potenz mehr versteckt ist. Dieser Unterschied ist das ganze Thema: eine Wurzel zu vereinfachen heißt umschreiben, nicht ausrechnen, und eine Dezimalzahl wirft genau die Exaktheit weg, die man bewahren sollte.
Alles auf dieser Seite ist exakt. Die Quadratwurzel aus 72 ist 6√2, die Kubikwurzel aus 54 ist 3∛2, die Wurzel aus zwei Dritteln ist √6/3, und eins durch zwei plus √3 ist genau 2 − √3. Neben jeder Antwort steht eine Dezimalzahl, deutlich als Näherung gekennzeichnet, weil man manchmal wirklich wissen will, wie groß die Sache etwa ist – aber sie wird niemals anstelle der Antwort geliefert.
Drei Fragen teilen sich diese Seite, weil sie sich eine Fähigkeit teilen. Vereinfachen heißt, die größte vollständige Potenz im Radikanden zu finden. Addieren sagt Ihnen, ob zwei Wurzeln gleichartige Terme sind – was Sie nicht wissen können, solange beide nicht vereinfacht sind. Rational machen holt eine Wurzel aus einem Nenner heraus, mit der Wurzel selbst oder mit dem konjugierten Ausdruck. Alle drei laufen auf dieselbe Regel hinaus: die Wurzel eines Produkts ist das Produkt der Wurzeln.
Worauf es ankommt
- Ziehen Sie die GRÖSSTE vollständige Potenz heraus, nicht die erste, die Sie sehen. 72 ist 4 mal 18, und dort aufzuhören lässt √18 stehen – noch nicht die einfachste Form. Es ist auch 36 mal 2, und 6√2 ist fertig.
- In der Primfaktorzerlegung steckt die vollständige Potenz. Sobald 72 als 2³·3² geschrieben ist, ist jedes Paar gleicher Primfaktoren ein Faktor, der vor das Quadratwurzelzeichen treten darf.
- Zwei Wurzeln lassen sich nur addieren, wenn unter ihren Zeichen dieselbe Zahl steht. √8 + √18 geht, weil beide heimlich Vielfache von √2 sind. √8 + √27 geht nicht, und 2√2 + 3√3 ist die fertige Antwort.
- Ein Bruch unter dem Zeichen und eine Wurzel im Nenner sind dasselbe Problem. Die Wurzel aus zwei Dritteln ist nicht die einfachste Form; innen mit 3/3 erweitert wird sie zu √6/3, und die ist es.
- Der Wurzelexponent bestimmt, welche Potenz herauskommt. Unter einer Quadratwurzel braucht man Paare, unter einer Kubikwurzel Dreiergruppen, unter einer vierten Wurzel Vierergruppen. Deshalb ergibt die Kubikwurzel aus 54 eine 3 und keine 6.
So vereinfacht man eine Wurzel von Hand
Den Radikanden in Primfaktoren zerlegen
Schreiben Sie die Zahl unter dem Zeichen als Produkt von Primzahlen. Für 72 ist das 2·2·2·3·3, also 2³·3². Wer das zuerst tut, muss nie raten, ob dort eine Quadratzahl versteckt ist.
Die Primfaktoren nach dem Exponenten gruppieren
Bei einer Quadratwurzel fasst man die Primfaktoren zu Paaren zusammen, bei einer Kubikwurzel zu Dreiergruppen. In 72 sind die Paare 2·2 und 3·3, und eine 2 bleibt allein übrig.
Pro vollständiger Gruppe tritt ein Faktor heraus
Jedes Paar liefert genau eine Kopie dieses Primfaktors vor der Wurzel. Das Paar aus 2en gibt eine 2, das Paar aus 3en eine 3, also kommt 6 heraus, und die einzelne 2 bleibt darunter: 6√2.
Brüche unter dem Zeichen beseitigen
Bleibt innen ein Nenner stehen, erweitern Sie den inneren Bruch so, dass der Nenner eine vollständige Potenz wird. Aus zwei Dritteln macht die Erweiterung mit 3/3 sechs Neuntel, und √6/3 kommt heraus.
Zur Kontrolle die Antwort quadrieren
6√2 quadriert ist 36 mal 2, also 72. Diese Kontrolle findet den häufigsten Fehler in einer Zeile: ein zu kleiner herausgezogener Faktor lässt ein Quadrat übrig, das kleiner als der Radikand ist.
Wurzeln in einfachster Form
Die häufigsten Fälle, jeweils mit der vollständigen Potenz, die die Arbeit macht.
| Wurzel | Vollständige Potenz darin | Einfachste Form | Ungefähr |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | keine – die 3 beseitigen | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | keine – rational machen | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | keine – konjugiert | 2 - √3 | 0.268 |
Gelöste Beispiele
Mit einem Faktor davor: 3√8
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3*sqrt(8)Vereinfachen Sie zuerst die Wurzel: √8 ist 2√2. Dann die Faktoren multiplizieren: 3·2 = 6, die Antwort ist also 6√2. Der Faktor wandert nie unter das Zeichen.
Addieren, was unaddierbar aussieht: √8 + √18
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sqrt(8) + sqrt(18)Keiner der Terme erwähnt √2, bevor man vereinfacht: √8 ist 2√2 und √18 ist 3√2. Jetzt sind sie gleichartige Terme, also addiert man die Faktoren: 5√2.
Ungleichartige Wurzeln: √8 + √27
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sqrt(8) + sqrt(27)Vereinfacht sind das 2√2 und 3√3. Verschiedene Zahlen unter den Zeichen heißt, sie sind keine gleichartigen Terme, also ist 2√2 + 3√3 die Antwort – mehr ist nicht zu tun.
Eine Wurzel im Nenner: 3 durch √2
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3/sqrt(2)Erweitern Sie mit √2. Der Wert ändert sich nicht, weil √2/√2 gleich 1 ist, und der Nenner wird 2. Die Antwort ist 3√2/2.
Der konjugierte Ausdruck: 1 durch 2 + √3
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1/(2 + sqrt(3))Erweitern Sie mit 2 − √3. Der Nenner ist dann 2² − (√3)², also 4 − 3 = 1, und damit ist das Ganze genau 2 − √3.
Häufige Fehler
- Die erste Quadratzahl herausziehen statt der größten. √72 als 2√18 zu schreiben ist richtig, aber unfertig – und als Antwort auf „einfachste Wurzelform“ wird es als falsch gewertet.
- Mit einer Dezimalzahl antworten. 8,485 ist nicht die Quadratwurzel aus 72, sondern eine Rundung davon. Steht in der Aufgabe ein Wurzelzeichen, behält die Antwort eines – es sei denn, die Wurzel geht glatt auf.
- Die Zahlen unter den Zeichen addieren. √4 + √9 ist 2 + 3 = 5, nicht √13. Wurzeln addieren sich nur als gleichartige Terme, nie innerhalb des Zeichens.
- Wurzeln mit verschiedenen Exponenten multiplizieren. √2 mal ∛2 ist weder √2 noch ∛4 – die Produktregel verlangt gleiche Exponenten, bevor man zusammenfassen darf.
- Eine Wurzel im Nenner stehen lassen. √2/2 und 1/√2 sind dieselbe Zahl, aber nur das Erste ist die einfachste Form; das Zweite hat unten noch eine Wurzel.
- Die Wurzel einer Summe wie eine Summe von Wurzeln behandeln. Die Wurzel aus 9 + 16 ist √25 = 5, nicht 3 + 4 = 7. Die Produktregel trennt Produkte, keine Summen.
- Vergessen, dass eine Wurzel mit geradem Exponenten aus einer negativen Zahl nicht reell ist, eine mit ungeradem aber doch. Es gibt keine reelle vierte Wurzel aus −16, aber die Kubikwurzel aus −8 ist genau −2.
Häufige Fragen zu Wurzeln
Was ist die einfachste Wurzelform?
Eine Wurzel steht in einfachster Form, wenn die Zahl unter dem Zeichen keinen Faktor mehr enthält, der eine vollständige Potenz ist, kein Bruch unter dem Zeichen steht und keine Wurzel in einem Nenner. 6√2 ist also einfachste Form, 2√18 nicht – obwohl beide dieselbe Zahl sind.
Wie vereinfache ich eine Quadratwurzel?
Zerlegen Sie den Radikanden in Primfaktoren, fassen Sie die Primfaktoren zu Paaren zusammen und schicken Sie von jedem Paar eine Kopie vor das Zeichen. Was ohne Partner bleibt, bleibt darunter. √72 wird zu 6√2, weil 72 gleich 2³·3² ist.
Warum nicht einfach die Dezimalzahl angeben?
Weil eine Dezimalzahl eine Näherung ist und eine Wurzel exakt. √2 hat keine endliche Dezimaldarstellung, 1,414 ist also schon an der vierten Stelle falsch; Prüfungsantworten, die weitere Algebra und jedes späte Kürzen brauchen die exakte Form, um richtig zu bleiben.
Wann darf man zwei Wurzeln addieren?
Nur wenn die Zahlen unter den Zeichen nach dem Vereinfachen gleich sind und die Exponenten übereinstimmen. Dann verhalten sie sich genau wie x + x: Faktoren addieren, Wurzel behalten. √8 + √18 ist 5√2; √8 + √27 lässt sich überhaupt nicht zusammenfassen.
Wie macht man einen Nenner rational?
Ist der Nenner eine einzelne Wurzel, erweitern Sie mit dieser Wurzel. Ist er eine Summe oder Differenz wie 2 + √3, erweitern Sie mit dem konjugierten Ausdruck 2 − √3 – die entstehende Differenz von Quadraten enthält keine Wurzel mehr. In beiden Fällen multiplizieren Sie mit 1, der Wert ändert sich also nie.
Was ist ein konjugierter Ausdruck?
Dieselben zwei Terme mit umgedrehtem Vorzeichen in der Mitte: der konjugierte Ausdruck von 3 − 2√2 ist 3 + 2√2. Ein Binom mit seinem konjugierten Ausdruck multipliziert ergibt eine Differenz von Quadraten, und eine quadrierte Quadratwurzel verschwindet – genau das räumt den Nenner auf.
Kann ich hier Kubik- und vierte Wurzeln vereinfachen?
Ja, jeden Wurzelexponenten von 2 bis 6. Die Regel verallgemeinert sich: unter einer Kubikwurzel sucht man Dreiergruppen gleicher Primfaktoren statt Paare, deshalb ist die Kubikwurzel aus 54 gleich 3∛2, weil 54 gleich 27 mal 2 ist.
Warum ist √(2/3) nicht gleich √2/√3?
Es ist gleich – beide sind dieselbe Zahl, und keine der beiden steht in einfachster Form. Die Wurzel aus zwei Dritteln ist gleich √2/√3, und die Erweiterung mit √3 ergibt √6/3, das keine Wurzel im Nenner hat und die fertige Antwort ist.
