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Jedes Polynom faktorisiert, mit dem Namen des Musters hinter jedem Schritt.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Beim Faktorisieren eines Polynoms passieren nur etwa sechs Dinge: ein gemeinsamer Faktor kommt heraus, eine Differenz zweier Quadrate zerfällt, ein vollständiges Quadrat wird zu einer Klammer zum Quadrat, ein Dreiterm zerfällt in zwei Klammern, vier Terme werden paarweise gruppiert, oder eine Summe bzw. Differenz zweier Kuben öffnet sich. Alles, was du in der Schulalgebra faktorisieren sollst, ist einer dieser Fälle - oder einer davon zweimal angewandt.
Das Nützliche, das ein Rechner sagen kann, ist deshalb nicht das Ergebnis, sondern welches Muster er benutzt hat und warum genau dieses. Hier ist jede Zeile benannt. Wenn dieselbe Aufgabe in einer Klausur auftaucht, versuchst du nicht, dich an diese Seite zu erinnern - du suchst nach dem Muster, auf das sie gezeigt hat.
Gerechnet wird exakt, mit ganzzahligen wie mit gebrochenen Koeffizienten, und die Seite prüft sich selbst: die letzte Zeile multipliziert die Faktoren wieder aus und zeigt das Ausgangspolynom. Diese Probe ist die Antwort auf «woher weiß ich, dass das stimmt?», und du kannst sie bei jeder Antwort aus jeder Quelle von Hand machen.
Schreib es wie auf Papier: x^2 - 5x + 6, 4x^2 - 12x + 9, x^3 - 8. ^ für Potenzen. Ein Buchstabe oder zwei (x^2 - y^2 geht auch).
Die faktorisierte Form steht oben. Die numerierten Schritte darunter benennen das jeweilige Muster - dieser Teil überträgt sich auf die nächste Aufgabe.
Jede Klammer der Form (ax - b) liefert eine Nullstelle bei b/a. Deshalb löst Faktorisieren Gleichungen: ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist.
Die letzte Zeile multipliziert die Faktoren wieder aus. Deck sie ab, mach es im Kopf und vergleich - diese Gewohnheit ist mehr wert als das Ergebnis.
Sechs Muster decken das Schulfaktorisieren ab. Zähl zuerst die Terme: das streicht den größten Teil der Liste, bevor du etwas ausprobierst.
| Muster | Sieht aus wie | Wird zu |
|---|---|---|
| Gemeinsamer Faktor | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Differenz von Quadraten | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Vollständiges Quadrat | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Dreiterm mit Leitkoeffizient 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Dreiterm mit Leitkoeffizient ungleich 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Gruppieren (vier Terme) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Differenz von Kuben | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Summe von Kuben | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Summe von Quadraten | x² + 9 | does not factor |
x^2 - 5x + 6Zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe -5: -2 und -3. Also (x - 2)(x - 3). Bei Leitkoeffizient 1 ist das die ganze Methode, und es lohnt sich, ein Dutzend davon zu rechnen, bis das Paar ohne Suche ins Auge fällt.
4x^2 - 12x + 94x² ist (2x)², 9 ist 3², und der Mittelterm ist genau -2 × 2x × 3. Damit ist es (2x - 3)². Man könnte es auch als Dreiterm behandeln und (2x-3)(2x-3) erhalten; das Quadrat zu erkennen spart diese Arbeit - der einzige Grund, Muster zu lernen.
9x^2 - 4Die Falle ist, es nicht zu sehen, weil die Quadrate nicht offensichtlich sind: 9x² ist (3x)² und 4 ist 2². Dann gilt das Muster wie immer und es wird (3x - 2)(3x + 2). Zwei Terme mit einem Minus dazwischen sind diese Prüfung immer wert.
3x^2 - 27So wie es steht, ist es keine Differenz von Quadraten - 3x² ist kein Quadrat. Klammere die 3 aus, dann ist 3(x² - 9) eine, und es wird 3(x - 3)(x + 3). Den gemeinsamen Faktor zu überspringen ist der häufigste Weg zu dem falschen Schluss, etwas ließe sich nicht faktorisieren.
x^3 - 8x³ - 8 ist x³ - 2³, also (x - 2)(x² + 2x + 4). Die quadratische Klammer lässt sich über den rationalen Zahlen nicht weiter zerlegen, und die Seite sagt das, statt es offen zu lassen. Achte auf die Vorzeichen: die lineare Klammer übernimmt das Vorzeichen, die quadratische wechselt.
