Phương pháp cộng đại số từng bước, vẽ cả hai đường thẳng và đánh dấu giao điểm.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Hai phương trình theo x và y là hai đường thẳng trên cùng một mặt phẳng. Một cặp (x, y) thỏa mãn cả hai phương trình là một điểm nằm trên cả hai đường thẳng, tức là giao điểm. Đó là toàn bộ ý tưởng, và nó giải thích mọi trường hợp cùng lúc: hai đường cắt nhau một lần cho một nghiệm, hai đường song song cho vô nghiệm, và một đường được vẽ hai lần cho vô số nghiệm.
Phương pháp cộng đại số và phương pháp thế chỉ là những cách tìm giao điểm đó mà không cần vẽ. Trang này làm cả hai nửa: hình vẽ, để bạn thấy đáp án có nghĩa gì, và phép cộng đại số viết ra từng dòng, để bạn thấy đáp án được tìm ra thế nào. Phần lớn máy tính chỉ cho bạn một trong hai.
Hai trường hợp đặc biệt được gọi tên thay vì bị báo là thất bại. "Vô nghiệm" và "vô số nghiệm" là những đáp án thật với ý nghĩa thật, và một máy tính lờ chúng đi sẽ dạy bạn sợ câu hỏi. Ở đây hình dạng của hệ được suy ra từ các hệ số, nên trang có thể cho bạn biết mình đang ở trường hợp nào ngay cả khi không có một cặp nghiệm duy nhất nào để in ra.
Viết như khi bạn viết trên giấy: 2x + y = 5 ở dòng đầu, x - y = 1 ở dòng thứ hai. Hệ số là phân số hay số thập phân đều được.
Cặp nghiệm nằm ở trên cùng. Bên dưới, một câu cho biết hệ đó về mặt hình học là gì: một giao điểm, song song, hay cùng một đường thẳng hai lần.
Các đường thẳng được vẽ ra với giao điểm được đánh dấu. Nếu đáp án làm bạn bất ngờ, hình vẽ thường giải thích nhanh hơn phần đại số.
Các bước được đánh số cho thấy ẩn nào bị loại, loại bằng cách nào và còn lại gì. Đó chính là phương pháp bạn được yêu cầu làm lại.
Mọi hệ 2x2 đều thuộc một trong các trường hợp này, và bạn có thể biết là trường hợp nào qua các đường thẳng trước khi làm bất kỳ phép đại số nào.
| Trường hợp | Các đường thẳng | Ví dụ |
|---|---|---|
| Một nghiệm | Cắt nhau một lần | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| Vô nghiệm | Song song, khác tung độ gốc | x + y = 3, x + y = 5 |
| Vô số nghiệm | Cùng một đường thẳng hai lần | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| Chỉ một phương trình | Cả một đường thẳng nghiệm | 2x + 3y = 7 |
| Ba ẩn | Mặt phẳng, không phải đường thẳng | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
2x + y = 5; x - y = 1Cộng hai phương trình loại ngay y, vì +y và -y triệt tiêu nhau: 3x = 6, nên x = 2, rồi y = 1 từ một trong hai phương trình. Hình vẽ cho thấy hai đường thẳng cắt nhau tại (2, 1): một điểm, một đáp án.
x + y = 3; x + y = 5Trừ hai phương trình được 0 = -2, điều mà không cặp số nào sửa được. Đó không phải máy tính bị lỗi; đó chính là đáp án. Hai đường thẳng có cùng hệ số góc và khác tung độ gốc, nên không bao giờ gặp nhau và hệ vô nghiệm.
x + y = 3; 2x + 2y = 6Phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân đôi, nên nó vẽ ra cùng một đường thẳng. Mọi điểm trên đường thẳng đó đều thỏa mãn cả hai, nghĩa là hệ có vô số nghiệm. Trong hình bạn chỉ thấy một đường thẳng, vì thực sự chỉ có một.
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2Thay z = 2 và x = y biến ba phương trình thành một, cho x = y = 2. Ở đây không có hình vẽ, vì với ba ẩn ta có các mặt phẳng chứ không phải đường thẳng, nhưng phép khử vẫn là cùng một quy trình, mỗi lần một ẩn.
Làm cho hệ số của một ẩn ở hai phương trình bằng nhau, rồi cộng hoặc trừ để loại ẩn đó. Giải phương trình một ẩn còn lại, rồi thay giá trị đó trở lại một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn kia. Cuối cùng kiểm tra cặp nghiệm trong cả hai phương trình.
Phương pháp cộng đại số kết hợp các phương trình để loại một ẩn; phương pháp thế biểu diễn một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình rồi thay biểu thức đó vào phương trình còn lại. Hai cách luôn cho cùng một đáp án. Cộng đại số thường ngắn hơn khi các hệ số gọn gàng, còn phương pháp thế ngắn hơn khi một phương trình đã có sẵn một ẩn đứng riêng.
Nghĩa là hai đường thẳng song song: chúng có cùng hệ số góc và khác tung độ gốc, nên không có điểm nào nằm trên cả hai. Trong phần đại số, điều đó hiện ra thành một mệnh đề vô lý như 0 = -2. Đó là một đáp án hoàn chỉnh, không phải là không tìm được đáp án.
Nghĩa là hai phương trình mô tả cùng một đường thẳng: phương trình này là bội của phương trình kia. Mọi điểm trên đường thẳng đó đều thỏa mãn cả hai phương trình, nên tập nghiệm là cả đường thẳng chứ không phải một cặp duy nhất. Bạn thường được yêu cầu viết nghiệm theo một biến.
Có, và phép khử được trình bày theo cùng cách: loại một ẩn để đưa về hệ 2x2, giải hệ đó, rồi tính ngược lại. Đồ thị chỉ được vẽ với hai ẩn, vì với ba ẩn ta có các mặt phẳng và một hình phẳng sẽ gây hiểu nhầm nhiều hơn là giải thích.
Vì hình vẽ chính là ý nghĩa. Phép cộng đại số là một quy trình đáng tin nhưng che đi điều đang diễn ra; hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm cho thấy rõ vì sao có đúng một đáp án, và vì sao hai đường song song thì không có đáp án nào.
Có, và chính xác. 0.5x + y = 3 được hiểu là một phần hai, và đáp án của hệ có hệ số phân số được ghi dưới dạng phân số chính xác chứ không phải số thập phân đã làm tròn.
