Giải mọi phương trình bậc hai chính xác, viết ra từng bước.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Phương trình bậc hai là mọi phương trình viết được dưới dạng ax² + bx + c = 0, với a khác 0. Công thức nghiệm x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a giải được tất cả các phương trình đó, một điều hiếm có và đáng trân trọng. Phân tích thành nhân tử chỉ dùng được khi các số tình cờ dễ tính; hoàn thành bình phương luôn dùng được nhưng cần luyện tập; công thức nghiệm luôn dùng được và chỉ cần cẩn thận.
Phần làm nên mọi chuyện nằm dưới dấu căn. b² - 4ac được gọi là biệt thức (thường ký hiệu là delta, Δ), và dấu của nó quyết định dạng đáp án trước khi bạn tính bất cứ điều gì khác: dương nghĩa là hai nghiệm, bằng 0 nghĩa là một nghiệm kép, âm nghĩa là không có nghiệm thực nào. Kiểm tra delta trước cho bạn biết nên chờ đợi loại đáp án nào, và đó là cách nhanh nhất để phát hiện lỗi tính toán về sau.
Công thức nghiệm không phải là một bước duy nhất, và đây là hiểu lầm phổ biến nhất về nó. Đó là một quy trình ngắn: thay số, tính delta, khai căn, tách dấu ±, rồi rút gọn từng trường hợp. Máy tính này đi qua cả năm bước để bạn thấy mình sẽ sai ở bước nào.
Gõ a, b và c vào các ô. Số nguyên, số thập phân và phân số như 1/2 đều dùng được. Thiếu một hạng tử nghĩa là hệ số bằng 0: với x² - 4 = 0, b bằng 0.
Gõ một phương trình như 2x^2 - 5x + 2 = 0 vào ô phương trình rồi nhấn Đọc phương trình. Các hạng tử ở cả hai vế được tự động chuyển sang vế trái, nên 3x^2 = 2x + 1 cũng dùng được.
Bước bốn cho bạn b² - 4ac. Để ý dấu của nó và đoán dạng đáp án (hai nghiệm, một nghiệm hay vô nghiệm) trước khi cuộn xuống.
Nếu đáp án của bạn khác, câu hỏi hữu ích không phải là số nào đúng mà là bước nào bắt đầu lệch. Tìm ra dòng đó và lỗi sẽ tự lộ diện.
Công thức nghiệm không phải là tiên đề. Nó là kết quả của việc hoàn thành bình phương cho phương trình tổng quát một lần, để không ai phải làm lại với những con số của riêng mình. Tự đi qua phần chứng minh một lần là khác biệt giữa thuộc công thức và hiểu công thức.
a x^2 + b x + c = 0
a không thể bằng 0: không có hạng tử x² thì chẳng còn gì bậc hai để giải, và 2a ở mẫu số cũng sẽ bằng 0.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Hoàn thành bình phương cần x² đứng một mình, nên phải bỏ a ở phía trước. Đây cũng là bước đưa a xuống mẫu số, nơi nó ở lại cho đến hết phần chứng minh.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
Một nửa của b/a là b/2a, và bình phương của nó là b²/4a². Đây là bước then chốt của cả phần chứng minh: nó đúng là phần vế trái còn thiếu để trở thành một bình phương hoàn chỉnh.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Và delta, b² - 4ac, tự xuất hiện ở đây trước khi có ai đặt tên cho nó.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Lấy cả hai dấu, vì bình phương của cả hai đều như nhau. 2a đi ra khỏi √(4a²) thành |2a|, và dấu ± phía trước hấp thụ dấu đó trong mọi trường hợp.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
Bảy dòng trên không dùng a, b hay c cụ thể nào, nên kết quả đúng với mọi phương trình bậc hai. Đó cũng là lý do delta quyết định dạng đáp án: nó là số nằm dưới dấu căn, và nếu nó âm thì bước sáu không thể đi tiếp.
Giá trị của b² - 4ac quyết định mọi thứ về dạng đáp án trước khi bạn khai căn lần nào.
| Delta | Nghiệm thực | Đồ thị | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Hai nghiệm thực phân biệt | Cắt trục x tại hai điểm | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Một nghiệm kép | Tiếp xúc trục x tại một điểm | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Vô nghiệm thực | Không bao giờ chạm trục x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Số chính phương | Hai nghiệm hữu tỉ | Cắt trục x tại hai phân số hoặc số nguyên | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Dương, không chính phương | Hai nghiệm vô tỉ | Cắt trục x tại hai giá trị căn | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6Delta là (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Căn bậc hai của nó đúng bằng 1, nên hai nghiệm là (5 + 1)/2 = 3 và (5 - 1)/2 = 2. Vì delta là số chính phương, cả hai nghiệm đều hữu tỉ và phương trình cũng phân tích được thành (x - 3)(x - 2) = 0. Đây là trường hợp phân tích nhân tử sẽ nhanh hơn.
a = 2, b = -5, c = 2Delta là 25 - 16 = 9, nên √9 = 3 và hai nghiệm là (5 + 3)/4 = 2 và (5 - 3)/4 = 1/2. Để ý nghiệm thứ hai được giữ là 1/2 và không bao giờ hiện thành 0.5: phân số là giá trị chính xác, còn số thập phân là giá trị gần đúng mà tình cờ ngắn gọn.
a = 1, b = -4, c = 1Delta là 16 - 4 = 12, không phải số chính phương. √12 rút gọn thành 2√3, nên hai nghiệm là (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Đây là lúc phần lớn máy tính bắt đầu in ra 3.7320508 và hết còn hữu ích: 2 + √3 mới là đáp án, và mọi số thập phân chỉ là giá trị làm tròn của nó.
a = 1, b = 2, c = 5Delta là 4 - 20 = -16. Không có số thực nào bình phương lên ra số âm, nên phương trình vô nghiệm thực và phần giải dừng ở đây. Parabol nằm hoàn toàn phía trên trục x. Nếu chương trình học của bạn đã đến số phức thì hai nghiệm là -1 ± 2i, nhưng đó có được tính là đáp án hay không tùy vào tập số bạn đang học.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Công thức cho nghiệm của mọi phương trình dạng ax² + bx + c = 0 với a khác 0. Nó được chứng minh bằng cách hoàn thành bình phương cho phương trình tổng quát, nên dùng được cho mọi trường hợp chứ không chỉ với những con số thuận tiện.
Bằng cách hoàn thành bình phương cho ax² + bx + c = 0. Chia hai vế cho a, chuyển hằng số sang vế kia, cộng (b/2a)² vào hai vế để vế trái thành bình phương hoàn chỉnh, khai căn hai vế (đây là chỗ dấu ± xuất hiện) rồi trừ b/2a. Bảy dòng đó được trình bày ở trên. Không bước nào phụ thuộc vào các số cụ thể, nên kết quả đúng với mọi phương trình bậc hai.
Vì phần chứng minh khai căn hai vế, và một số dương có hai căn bậc hai: 3 và -3 đều bình phương ra 9. Phải giữ cả hai, nên dấu ± là cách viết tắt của hai phép tính riêng biệt, và cũng là lý do phương trình bậc hai thường có hai nghiệm chứ không phải một.
Cả hai đều miễn phí, không cần đăng ký. Điều này đáng nói rõ vì hai trang giải toán từng bước nổi tiếng nhất cho bạn xem đáp án rồi yêu cầu đăng ký trả phí mới xem được cách giải. Toàn bộ ý nghĩa của trang này là lời giải mới là phần hữu ích.
Vì 2 + √3 là đáp án, còn 3.732 là giá trị làm tròn của nó. Nếu bài tập yêu cầu giá trị chính xác, số thập phân sẽ bị chấm sai. Giá trị gần đúng được hiện bên dưới để bạn dùng khi cần kiểm tra nhanh một đồ thị hay một phép đo.
Nghĩa là phương trình vô nghiệm thực: parabol không bao giờ cắt trục x. Trong chương trình đã học số phức, phương trình vẫn có hai nghiệm, viết dạng a ± bi, nhưng trước đó thì "vô nghiệm thực" là đáp án đầy đủ và chính xác.
Phân tích nhân tử trước nếu bạn nhận ra các nhân tử trong vài giây: cách này nhanh hơn và ít sai hơn. Dùng công thức khi các số không thuận lợi, khi hệ số của x² khác 1, hoặc khi bạn nghi nghiệm là số vô tỉ. Công thức không bao giờ thất bại; phân tích nhân tử chỉ dùng được với những phương trình được tạo ra để phân tích được.
Có. Nhập phân số dạng 1/2 hoặc 3/4 và số thập phân dạng 0.5. Số thập phân được chuyển thành phân số chính xác ở bên trong, nên 0.1 được hiểu đúng là một phần mười chứ không phải giá trị nhị phân gần đúng mà máy tính dấu phẩy động dùng.
Chuyển mọi hạng tử sang một vế để vế kia bằng 0, rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng. Với 3x² = 2x + 1, trừ 2x và 1 ở cả hai vế để được 3x² - 2x - 1 = 0. Ô phương trình trên trang này làm việc biến đổi đó giúp bạn nếu bạn dán phương trình gốc vào.
