Đường tròn lượng giác

Bảng này cho giá trị sin và cos tại cả mười sáu góc đặc biệt, theo độ và theo radian. Bạn có thể chuyển sang hiện thêm tan, hoặc sang đường tròn trống để in ra và tự điền.

Bảng đường tròn lượng giác

Giá trị trên đường tròn lượng giác

Mọi giá trị trên bảng, gom trong một bảng. Tan bằng sin chia cos, nên tan không có giá trị tại những góc có cos bằng 0.

Vì sao điểm là (cos, sin)

Kéo điểm đi quanh đường tròn và để ý hai cạnh nét đứt.

Đường tròn có bán kính 1, và đó là toàn bộ bí quyết. Kẻ một tia từ tâm ra đến đường tròn theo một góc nào đó, rồi hạ một đường thẳng đứng từ điểm đó xuống trục x. Giờ bạn có một tam giác vuông với cạnh huyền là bán kính, nên cạnh huyền bằng 1.

Trong tam giác đó, cos bằng cạnh kề chia cạnh huyền. Cạnh kề là cạnh góc vuông nằm ngang, và cạnh huyền bằng 1, nên cos chính là cạnh góc vuông nằm ngang. Lập luận tương tự cho thấy sin là cạnh góc vuông thẳng đứng. Vậy điểm đó là (cos(x), sin(x)): khoảng cách ngang trước, rồi đến khoảng cách dọc, x trước y.

Ba con số bạn thật sự cần

Góc phần tư thứ nhất chứa mọi giá trị mà đường tròn dùng đến:

Chỉ có ba giá trị khác nhau: 1/2, √2/2 và √3/2. Để ý rằng 30° và 60° là cùng một cặp số đổi chỗ cho nhau. Hai góc này cộng lại bằng 90°, nên tam giác của chúng là cùng một tam giác, chỉ nhìn từ đầu kia.

Dấu ở từng góc phần tư

Mọi góc nằm ngoài góc phần tư thứ nhất đều dùng một trong ba số đó kèm một dấu. Để tìm, hãy lấy góc tham chiếu, tức là góc giữa tia và trục x: 150° còn thiếu 30° nữa mới đến 180°, nên góc tham chiếu của nó là 30° và các giá trị của nó là giá trị của 30° với dấu mới.

Dấu đến từ vị trí của điểm. Cos là khoảng cách ngang, nên nó âm ở nửa trái đường tròn. Sin là khoảng cách dọc, nên nó âm ở nửa dưới. Bảng đánh dấu mỗi góc phần tư bằng dấu của (cos, sin):

Vậy 150° là (−√3/2, 1/2) và 210°, cũng có góc tham chiếu là 30°, là (−√3/2, −1/2).

Đường tròn lượng giác theo radian

Một vòng đầy đủ là 360°, và cũng là 2π radian, vì chu vi của đường tròn bán kính 1 là 2π: một radian là cung có độ dài bằng một bán kính. Nửa vòng là 180° hay π.

Từ đó, các góc đặc biệt là phân số của nửa vòng. 30° là một phần sáu của 180°, nên nó là π/6; 45° là một phần tư, π/4; 60° là một phần ba, π/3. Mẫu số cho biết bao nhiêu góc như thế vừa khít trong nửa vòng, còn tử số đếm số góc đó: 150° là năm phần sáu của nửa vòng, 5π/6.

Tan trên đường tròn lượng giác

Tan là tỉ số sin(x)/cos(x), cũng chính là hệ số góc của đường thẳng đi từ tâm đến điểm. Tại 45°, sin và cos bằng nhau, nên tan đúng bằng 1. Tại 30° nó bằng √3/3 và tại 60° nó bằng √3.

Tại 90° điểm nằm thẳng phía trên, ở (0, 1), nên cos bằng 0 và tan không xác định: không có số nào bằng 1 chia 0, và đường thẳng đứng không có hệ số góc. Điều tương tự xảy ra tại 270°. Ở mọi chỗ khác tan tuân theo quy tắc dấu: dương khi sin và cos cùng dấu (góc phần tư I và III), âm khi chúng khác dấu. Phiên bản có tan của bảng in ra mọi giá trị.

Trắc nghiệm và luyện tập đường tròn lượng giác

Chuyển đường tròn kéo được ở trên sang chế độ Tự kiểm tra: các giá trị bị ẩn đi, bạn tự nói ra, rồi kiểm tra lại. Hoặc trả lời câu này mà không nhìn:

cos(60°)

Để luyện tập trên giấy, hãy in bảng trống và điền đủ mười sáu điểm. Khi bạn làm được trong chưa đến hai phút mà không nhìn, bạn đã nắm vững đường tròn lượng giác.