Phân số bằng nhau
Hai phân số không có chữ số nào giống nhau vẫn có thể bằng nhau. Nghe như một mẹo, cho đến khi bạn nhìn thấy nó một lần dưới dạng độ dài, và từ đó nó chẳng còn gì đáng ngạc nhiên.
Cập nhật lần cuối
Hỏi ai đó xem 2/3 và 8/12 có phải cùng một số không, bạn thường sẽ nhận được một khoảng lặng. Chẳng có gì giống nhau cả: không phải tử số, không phải mẫu số, không phải độ lớn của các chữ số. Vậy mà chúng là cùng một lượng, chính xác, không làm tròn chút nào.
Lý do dễ nhìn hơn là dễ nói, nên đây là nó dưới dạng một độ dài.
Đường nét đứt không bao giờ di chuyển. Cắt cùng một độ dài thành nhiều mảnh hơn làm thay đổi cả hai số nhưng không thay đổi phần được tô.
Độ dài được tô là thứ không thay đổi
Thanh trên được chia thành 3 phần, tô 2 phần. Thanh dưới là cùng thanh đó, chia thành 6 phần, tô 4 phần. Tăng hệ số nhân lên, thanh dưới được chia thành 9, rồi 12, rồi 15 phần, và đường nét đứt không hề dịch chuyển.
Đường đó là toàn bộ ý tưởng. Một phân số là một độ dài, và hai con số chỉ là cách mô tả bạn đã chia nó ra như thế nào. Mẫu số cho biết cả thanh được chia thành bao nhiêu phần; tử số cho biết bạn lấy bao nhiêu phần. Chia đôi mỗi phần, bạn có số phần gấp đôi, mỗi phần chỉ bằng một nửa, và bạn lấy gấp đôi số phần. Hai thay đổi triệt tiêu nhau.
Vậy 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, và danh sách không dừng lại: mỗi phân số có vô số dạng bằng nó.
Tạo một phân số bằng nhau: nhân tử và mẫu với cùng một số
Để viết một phân số theo cách khác, nhân cả hai phần với cùng một số:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
Bạn chọn số nào cũng được, và trong bài toán thật, số đó được chọn có lý do, thường là vì bạn cần một mẫu số cụ thể. Nếu đề bài cần viết phần ba với mẫu là 12, hệ số nhân là 4, vì 3*4 = 12.
Quy tắc duy nhất quan trọng: cả hai phần, hoặc không phần nào. Chỉ nhân tử số sẽ cho 8/3, lớn gấp bốn lần. Kéo thanh trượt tử số trong hình ở trên và xem đường nét đứt nhảy đi: đó là điều xảy ra khi chỉ đổi một số.
Phép chia cũng vậy, theo chiều ngược lại. 8/12 chia cả tử và mẫu cho 4 được 2/3, và một lần nữa chẳng có gì dịch chuyển.
Đọc theo chiều ngược lại: rút gọn về phân số tối giản
Đi xuống danh sách thay vì đi lên gọi là rút gọn, và đó là dạng mà hầu hết các đáp án yêu cầu. Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng:
| phân số | ước chung | tối giản |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Một phân số là tối giản khi số tự nhiên duy nhất chia hết cả hai phần là
- Để ý rằng ba phân số trông khác nhau trong bảng đều rút gọn thành 2/3, và đó chính là điểm mấu chốt: chúng vốn là cùng một lượng, chỉ được viết với những cách chia khác nhau.
Nếu ước chung không dễ thấy, bạn có thể rút gọn từng bước. 24/36 là số chẵn, nên chia đôi cả hai được 12/18; chia đôi tiếp được 6/9; rồi chia cho 3 được 2/3. Đến đích bằng ba bước dễ cũng chẳng kém gì đến đích bằng một bước khéo.
Vì sao cần đến chúng
Phân số bằng nhau không phải là một chủ đề tự thân. Chúng tồn tại vì không có chúng thì không thể cộng phân số.
1/2 + 1/3 không đếm được, vì một nửa và một phần ba là những phần có kích thước khác nhau. Viết lại cả hai với mẫu 6, 1/2 = 3/6 và 1/3 = 2/6, giờ chúng là những phần cùng kích thước, nên chỉ việc cộng: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Mỗi bước quy đồng mẫu số mà bạn từng làm là việc viết ra hai phân số bằng nhau. Đó là lý do ý tưởng này phải đến trước.
Thử một bài
Nếu bạn ra 9/12 thì bạn đã chia đôi rồi dừng lại: 9 và 12 vẫn còn ước chung là 3. Tiếp tục cho đến khi số duy nhất chia hết cả hai là 1.
Câu hỏi thường gặp
Phân số bằng nhau là gì?
Hai phân số bằng nhau khi chúng biểu diễn cùng một lượng, dù các con số trông khác nhau. 2/3 và 8/12 bằng nhau: chia một thanh thành 3 phần và tô 2 phần, hoặc chia chính thanh đó thành 12 phần và tô 8 phần, phần được tô dừng lại đúng ở cùng một chỗ.
Làm sao tìm một phân số bằng phân số đã cho?
Nhân cả tử và mẫu với cùng một số. 2/3 thành 4/6 (nhân 2), 6/9 (nhân 3), 8/12 (nhân 4), và cứ thế mãi. Nhân cả hai phần với cùng một số cũng giống như chia mỗi phần thành chừng ấy phần nhỏ hơn, việc đó làm thay đổi số phần nhưng không thay đổi lượng bạn có.
Vì sao không thể chỉ nhân tử số?
Vì tử số đếm số phần, còn mẫu số cho biết mỗi phần lớn bao nhiêu. Chỉ đổi tử số nghĩa là lấy thêm nhiều phần có cùng kích thước, tức là thực sự nhiều hơn. Bạn phải đổi kích thước của mỗi phần cùng lúc, và nhân mẫu số với cùng số đó chính là cách làm điều ấy.
Rút gọn phân số về tối giản như thế nào?
Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng. Với 8/12, ước đó là 4, nên 8/12 thành 2/3. Một phân số là tối giản khi số duy nhất chia hết cả hai phần là 1, và đó là dạng mà hầu hết các đáp án yêu cầu.
Phân số bằng nhau dùng để làm gì?
Để cộng và trừ. Các phần có kích thước khác nhau không thể đếm chung, nên 1/2 + 1/3 không đi đến đâu cho đến khi cả hai được viết lại với cùng mẫu số: 3/6 + 2/6 = 5/6. Mỗi lần viết lại như vậy là một phân số bằng nhau, vì thế đây là ý tưởng mà toàn bộ phép tính với phân số được xây dựng trên đó.
Muốn thử với số liệu của riêng bạn?
Máy tính phân số Mở máy tính