Kéo hai điểm và xem hệ số góc, đường thẳng cùng mọi dạng phương trình thay đổi theo.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Hệ số góc (slope) của một đường thẳng cho biết nó đi lên bao nhiêu với mỗi bước sang phải: độ thay đổi của y chia cho độ thay đổi của x, giữa hai điểm bất kỳ trên đường thẳng. Mọi quy tắc về hệ số góc đều suy ra từ câu này: hệ số góc dương thì đi lên, âm thì đi xuống, đường nằm ngang có hệ số góc bằng 0, còn đường thẳng đứng không có hệ số góc, vì độ chênh ngang bằng 0 và không gì chia được cho 0.
Nói thì dễ, nhưng khó cảm nhận qua một công thức. Vì vậy trang này vẽ nó ra: độ chênh ngang đi dọc theo và độ chênh dọc đi lên, như một bậc thang giữa hai điểm của bạn. Kéo một điểm và xem con số nào thay đổi. Độ chênh dọc gấp đôi thì hệ số góc gấp đôi; độ chênh ngang gấp đôi thì hệ số góc giảm một nửa; di chuyển một điểm dọc theo đường thẳng thì không gì thay đổi, và đó chính là điều khiến hệ số góc đáng được định nghĩa.
Bạn cũng nhận được mọi thứ khác mà hai điểm xác định, một cách chính xác: phương trình đường thẳng ở cả ba dạng mà bài tập có thể yêu cầu, khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng căn thức chính xác, trung điểm, các giao điểm với trục và hệ số góc của mọi đường vuông góc. Không gì bị làm tròn giữa chừng: khoảng cách giữa (0,0) và (2,3) là √13, không phải 3.6056.
Điền bốn ô, hoặc kéo một trong hai chấm trên mặt phẳng. Các phím mũi tên cũng dùng được, mỗi lần một đơn vị, nên bạn dùng được mặt phẳng mà không cần chuột.
Hệ số góc ở trên cùng dưới dạng phân số chính xác, kèm số thập phân bên cạnh. Bên dưới là dạng hệ số góc, dạng điểm và hệ số góc, và dạng tổng quát của cùng một đường thẳng, tùy câu hỏi của bạn cần dạng nào.
Các đường nét đứt giữa hai điểm là độ chênh ngang và độ chênh dọc. Nếu phân số trông có vẻ sai, hãy đếm ô vuông: hình vẽ và phép tính phải khớp nhau.
Khoảng cách, trung điểm, hai giao điểm với trục, góc với trục x và hệ số góc vuông góc đều được tính ở bên dưới: đó là những thứ khác mà một bài toán về hai điểm thường hỏi.
Các công thức đằng sau mọi con số trên trang này, cùng trường hợp dùng của mỗi công thức.
| Nội dung | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Hệ số góc | m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) | Chênh dọc chia chênh ngang, đúng thứ tự đó |
| Dạng hệ số góc | y = mx + b | b là chỗ đường thẳng cắt trục y |
| Dạng điểm và hệ số góc | y - y₁ = m(x - x₁) | Nhanh nhất khi có một điểm và hệ số góc |
| Dạng tổng quát | Ax + By = C | A, B, C là số nguyên, A dương |
| Đường nằm ngang | m = 0 | y = c |
| Đường thẳng đứng | m không xác định | x = c |
| Hai đường song song | cùng m | Không bao giờ gặp nhau |
| Hai đường vuông góc | m₁ × m₂ = -1 | Nghịch đảo đổi dấu |
| Khoảng cách | √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) | Định lý Pythagoras trên bậc thang |
| Trung điểm | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | Trung bình của từng tọa độ |
Độ chênh dọc là 2 - 8 = -6 và độ chênh ngang là 5 - 3 = 2, nên hệ số góc là -6/2 = -3. Đường thẳng đi xuống ba đơn vị với mỗi bước sang phải. Để ý thứ tự: lấy hiệu theo chiều ngược lại sẽ được 6 và -2, vẫn cùng một hệ số góc; điều bạn không được làm là lấy y theo một chiều và x theo chiều kia.
Chênh dọc 4, chênh ngang 3, nên hệ số góc là 4/3 và vẫn giữ dạng phân số. 1.33 là bản làm tròn của nó, và với câu hỏi về hệ số góc thì phân số mới là đáp án. Phương trình đường thẳng ra y = 4x/3 + 2/3, đó là lý do dạng tổng quát (4x - 3y = -2) thường là cách viết gọn hơn.
Cả hai điểm đều có x = 2, nên độ chênh ngang bằng 0 và hệ số góc không xác định, không phải bằng 0. Đường thẳng là x = 2, hoàn toàn không viết được dưới dạng y = mx + b. Đây là trường hợp mà riêng công thức sẽ không cho bạn biết, nên trang nói rõ bằng lời.
Độ chênh dọc bằng 0, nên hệ số góc là 0/8 = 0. Đường thẳng là y = 4. So sánh với trường hợp thẳng đứng ở trên: số 0 ở tử cho hệ số góc bằng 0, số 0 ở mẫu cho đường thẳng không có hệ số góc, và hai trường hợp này khác nhau hoàn toàn.
Trừ hai tung độ để có độ chênh dọc, trừ hai hoành độ theo cùng thứ tự để có độ chênh ngang, rồi chia: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Sau đó rút gọn phân số. Các bước trên trang này chính là phép tính đó với các số của bạn thay vào.
Đó là hệ số góc được mô tả bằng hình ảnh: đường thẳng đi lên bao xa (độ chênh dọc) với một bước sang phải nhất định (độ chênh ngang). Bậc thang nét đứt trên mặt phẳng ở trên được vẽ giữa hai điểm của bạn, nên phân số và hình vẽ là một.
Hai đường song song có cùng hệ số góc. Hai đường vuông góc có tích hệ số góc bằng -1, nghĩa là hệ số góc này là nghịch đảo đổi dấu của hệ số góc kia: 2 và -1/2, hoặc -3/4 và 4/3. Hệ số góc vuông góc được in bên dưới đáp án.
Có. Các ô nhận số nguyên, phân số như 1/2 và số thập phân như 0.75, và mọi kết quả phía sau đều giữ chính xác: 0.5 được hiểu là một phần hai. Khi kéo, điểm bắt vào số nguyên, nhờ vậy bạn dễ đếm ô vuông.
