Quy tắc lũy thừa
Năm quy tắc mà học sinh nào cũng chép vào thẻ ghi nhớ, rồi một nửa số đó áp dụng sai. Khi được viết ra dưới dạng phép nhân lặp lại, chẳng quy tắc nào cần phải nhớ cả.
Cập nhật lần cuối
Ai cũng chép các quy tắc lũy thừa vào thẻ, và một học kỳ sau thì một nửa số đó bị áp dụng sai chỗ. Đó không phải lỗi trí nhớ. Một quy tắc chỉ được học thuộc không cho bạn cách nào để biết khi nào nó áp dụng được, nên nó bị dùng ở mọi nơi trông có vẻ khớp.
Cách sửa là thôi coi chúng là quy tắc. Chọn một quy tắc bên dưới và đọc dòng ở giữa.
Dòng giữa chính là chứng minh. Quy tắc nào cũng hiển nhiên khi lũy thừa được viết ra thành phép nhân lặp lại, nghĩa là bạn không bao giờ phải dựa vào trí nhớ.
Mỗi quy tắc là một lập luận đếm
a^3 là cách viết tắt. Điều nó thực sự nói là a · a · a: ba bản sao của a nhân với nhau. Khi cả hai vế của một quy tắc được viết ra theo cách đó, quy tắc thôi là một khẳng định và trở thành một phép đếm.
Nhân: hai bản sao đặt cạnh ba bản sao là năm bản sao.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
Bạn không cộng số mũ vì một quy tắc bảo thế. Bạn cộng chúng vì bạn đang đếm xem cuối cùng có bao nhiêu chữ a trong dòng.
Chia: năm bản sao trên hai bản sao, và hai trong số đó triệt tiêu.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Lũy thừa của lũy thừa: ba lần "hai bản sao" là sáu bản sao.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Ba quy tắc, một lập luận. Lý do người ta nhầm giữa "cộng" và "nhân" là vì họ học thuộc động từ thay vì phép đếm.
Số mũ 0 và số mũ âm là bắt buộc, không phải tùy chọn
Hai quy tắc này có cảm giác như quy ước do ai đó chọn ra, nhưng không phải vậy.
Lấy a3/a3. Mọi số chia cho chính nó đều bằng 1. Nhưng quy tắc chia nói nó bằng a^(3-3) = a^0. Cả hai mô tả cùng một phép chia, nên a^0 = 1 là giá trị duy nhất giữ cho các quy tắc nhất quán.
Tiếp tục đi xuống. Mỗi bước giảm số mũ là chia cho a thêm một lần:
| lũy thừa | giá trị khi a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Không có gì đổi chiều tại số 0: việc chia đôi cứ thế tiếp tục. Số mũ âm chỉ có vậy: a^-n = 1/a^n. Đặc biệt, nó không phải một số âm. 2^-3 bằng 1/8, một số dương.
Ba lỗi đáng gọi tên
Khác cơ số thì không gộp được. 2^3 · 3^4 giữ nguyên như vậy. Các quy tắc nói về việc đếm bản sao của cùng một thứ, còn ở đây là đếm hai thứ khác nhau.
Cộng các số hạng không phải là nhân chúng. x^2 + x^3 không phải là x^5. Hãy viết ra: hai bản sao cộng ba bản sao không phải là năm bản sao, mà là tổng của hai đại lượng khác nhau. Không có gì triệt tiêu, không có gì gộp lại.
Lũy thừa phân phối đối với tích, không phải đối với tổng. (ab)^2 = a2b2 là đúng: hai bản sao của ab là hai chữ a và hai chữ b. Nhưng (a+b)^2 không phải là a^2 + b^2; nó khai triển thành a^2 + 2ab + b^2, và số hạng ở giữa chính là điều mà tính chất phân phối dự đoán.
Thử một bài
Nếu bạn vội lấy máy tính, hãy thử lại bằng cách triệt tiêu: bốn bản sao của 3 trên hai bản sao của 3 còn lại hai bản sao, và hai bản sao của 3 là 9. Đó là cách vẫn dùng được khi cơ số là x thay vì 3.
Tiếp theo là gì
Các quy tắc lũy thừa là thứ giúp phép tính với ký hiệu khoa học hoạt động, biến một căn thức thành lũy thừa với số mũ hữu tỉ, và cho phép logarit biến phép nhân thành phép cộng. Cả ba đều là năm quy tắc đó, đọc theo một chiều khác, và đó là lý do tốt để nắm chúng bằng lập luận chứ không phải bằng học thuộc.
Câu hỏi thường gặp
Các quy tắc lũy thừa là gì?
Có năm quy tắc gánh gần như mọi thứ: nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ, lũy thừa của một lũy thừa thì nhân số mũ, mọi số mũ 0 đều bằng 1, và số mũ âm nghĩa là một phần lũy thừa với số mũ dương. Cả năm quy tắc đều là hệ quả của việc viết lũy thừa thành phép nhân lặp lại.
Vì sao mọi số mũ 0 đều bằng 1?
Vì quy tắc chia. Mọi số chia cho chính nó đều bằng 1, và quy tắc chia nói rằng cùng phép chia đó bằng cơ số mũ (số mũ trừ chính nó), tức là mũ 0. Hai phát biểu mô tả cùng một phép chia, nên a mũ 0 bắt buộc phải bằng 1. Đó là điều bị ép buộc chứ không phải được quy định, ngoại lệ duy nhất là 0 mũ 0, vốn không được định nghĩa.
Số mũ âm có nghĩa là gì?
Nó có nghĩa là nghịch đảo, không phải một số âm. 2 mũ -3 bằng 1/8, một số dương. Cứ chia cho cơ số mỗi khi số mũ giảm đi, 8, 4, 2, 1, và tiếp tục qua 1 sẽ được 1/2, 1/4, 1/8. Số mũ âm cho bạn biết phải chia bao nhiêu lần thay vì nhân.
Khi nào được cộng số mũ và khi nào thì không?
Chỉ khi các cơ số giống hệt nhau và bạn đang nhân. 2 mũ 3 nhân 2 mũ 4 bằng 2 mũ 7, nhưng 2 mũ 3 nhân 3 mũ 4 thì hoàn toàn không gộp được, vì chúng đếm những thứ khác nhau. Cộng số mũ khi đang cộng các số hạng là lỗi phổ biến nhất ở đây: x bình phương cộng x lập phương không phải là x mũ 5.
(a + b) bình phương có bằng a bình phương cộng b bình phương không?
Không, và đây là lỗi đáng gọi tên. Phép bình phương phân phối đối với phép nhân, không phải đối với phép cộng. (ab) bình phương đúng là bằng a bình phương nhân b bình phương, nhưng (a + b) bình phương khai triển thành a bình phương cộng 2ab cộng b bình phương. Số hạng ở giữa bị thiếu chính là thứ mà bảng FOIL làm hiện ra.
Muốn thử với số liệu của riêng bạn?
Giải phương trình Mở máy tính