Số chính phương
Số chính phương không phải là một số có tính chất đặc biệt mà bạn phải tra cứu. Nó là một số lượng đồ vật có thể xếp thành một hình vuông thật sự, và mọi thứ khác đều suy ra từ đó.
Cập nhật lần cuối
"Số chính phương" nghe như một cái nhãn ai đó gắn cho một danh sách số mà giờ bạn phải học thuộc. Không phải vậy. Cái tên là mô tả của một hình dạng, và khi đã nhìn thấy hình dạng đó, bạn không cần học thuộc danh sách nữa.
Kéo thanh trượt. Xem thứ gì được thêm vào mỗi lần.
Kéo thanh trượt một nấc. Hình chữ L được tô là phần vừa thêm vào: đếm nó, và bạn có khoảng cách giữa hai số chính phương liên tiếp.
Cái tên mang nghĩa đen
6^2 = 36 không có nghĩa là "6 đã đi qua phép bình phương". Nó có nghĩa là: lấy 36 ô vuông đơn vị và bạn có thể xếp chúng thành một hình vuông, mỗi cạnh 6 ô. Lấy 35 ô thì không được: bạn sẽ luôn có một lỗ hổng hoặc một phần thừa ra. Đó là toàn bộ định nghĩa, và là lý do chữ "phương" (vuông) có trong tên gọi, chứ không phải một thứ gì trừu tượng.
Đọc cùng hình ảnh đó theo chiều ngược lại, bạn có căn bậc hai. sqrt(36) = 6 là câu hỏi "nếu 36 ô vuông tạo thành một hình vuông, thì cạnh của nó dài bao nhiêu?" Một số có căn bậc hai là số tự nhiên khi và chỉ khi nó là số chính phương, đó là lý do hai ý tưởng này luôn được dạy cùng nhau.
Danh sách đáng biết
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Hai mươi số này về cơ bản đủ cho mọi câu hỏi ở trường, vì các bài toán được xây dựng ngược từ những đáp án mà người ta có thể kiểm tra.
Khoảng cách giữa chúng là các số lẻ
Đây là điều mà thanh trượt thực sự muốn cho bạn thấy. Đẩy nó từ 5 lên 6 rồi đếm hình chữ L được tô màu xuất hiện: năm ô dọc cạnh mới, năm ô dọc phía trên mới, và một ô ở góc. Mười một ô.
Tổng quát, đi từ n^2 đến (n+1)^2 là thêm 2n+1 ô vuông, luôn là số lẻ. Vì vậy hiệu giữa hai số chính phương liên tiếp lần lượt là 3, 5, 7, 9, 11, 13 …, và cộng dần các số lẻ theo thứ tự sẽ cho các số chính phương theo thứ tự:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
Đây cũng là một cách thực sự nhanh để nhẩm mở rộng bảng. Nếu bạn biết 14^2 = 196 và muốn tìm 15^2, cộng thêm 2*14 + 1 = 29: được 225.
Nhận biết mà không cần máy tính
Hai bước lọc đưa bạn đi gần hết chặng đường.
Nhìn chữ số tận cùng. Bình phương bất kỳ số nào cũng tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9, không bao giờ bằng 2, 3, 7 hay 8. Vậy 4.398 không phải số chính phương và bạn chẳng phải tính gì cả. Đây không phải trùng hợp: chữ số tận cùng của một tích chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của các thừa số, và bình phương các số từ 0 đến 9 chỉ cho ra sáu chữ số tận cùng đó.
Sau đó kẹp nó lại. 200 nằm giữa 14^2 = 196 và 15^2 = 225, nên không còn số tự nhiên nào để nó là bình phương. Mọi số nằm hẳn giữa hai số chính phương liên tiếp đều không phải số chính phương.
Vì sao chúng xuất hiện hoài
Số chính phương là lý do một số phương trình bậc hai phân tích thành nhân tử gọn gàng còn số khác thì không. x^2 - 49 tách được thành hiệu hai bình phương vì 49 là số chính phương; x^2 - 50 thì không. Chúng cũng là thứ giúp rút gọn căn bậc hai: sqrt(75) trở thành 5sqrt(3) chính vì 25 là một số chính phương ẩn bên trong 75.
Thử một bài
Và một bài theo chiều ngược lại: một phương trình thay vì tra bảng. Để ý rằng nó có hai nghiệm, đó là điều mà người ta hay hiểu sai nhất về căn bậc hai:
Cả 7 và -7 bình phương đều bằng 49, nên cả hai đều là nghiệm. Ký hiệu sqrt(49) chỉ có nghĩa là nghiệm dương: đó là quy ước về ký hiệu, không phải sự thật về phương trình.
Câu hỏi thường gặp
Số chính phương là gì?
Là một số tự nhiên bạn có được khi nhân một số tự nhiên với chính nó. 9 là số chính phương vì 3 nhân 3 bằng 9; 10 thì không, vì không có số tự nhiên nào nhân với chính nó ra 10. Cái tên mang nghĩa đen: đúng chừng ấy ô vuông đơn vị có thể xếp thành một hình vuông.
Các số chính phương từ 1 đến 100 là những số nào?
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 và 100, là bình phương của các số từ 1 đến 10. Tiếp tục qua 100 sẽ được 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 và 400, tức là đến 20 bình phương, đủ cho gần như mọi câu hỏi ở trường.
Làm sao biết một số có phải số chính phương không?
Hai bước lọc nhanh, rồi một bước kiểm tra. Số chính phương không bao giờ tận cùng bằng 2, 3, 7 hay 8, nên những số đó bị loại ngay. Nếu vượt qua bước này, hãy tìm số chính phương gần nhất mà bạn biết rồi mở rộng ra: 200 nằm giữa 196 và 225, nên nó không phải số chính phương. Chỉ khi một số vượt qua cả hai bước, bạn mới cần khai căn nó.
Vì sao khoảng cách giữa các số chính phương là các số lẻ?
Mở rộng một hình vuông cạnh n thành cạnh n+1 nghĩa là thêm một dải dọc một bên, một dải dọc phía trên và một ô vuông ở góc: n + n + 1, luôn là số lẻ. Vì vậy các hiệu lần lượt là 3, 5, 7, 9 và cứ thế, và cộng dần các số lẻ theo thứ tự sẽ cho các số chính phương theo thứ tự.
0 có phải là số chính phương không?
Có. 0 nhân 0 bằng 0, nên nó khớp hoàn toàn với định nghĩa. Một số danh sách ở trường bắt đầu từ 1 vì khó hình dung một hình vuông không có cạnh, nhưng không có gì trong định nghĩa loại trừ nó, và coi 0 là số chính phương giúp phần đại số sau này gọn gàng hơn.
Muốn thử với số liệu của riêng bạn?
Giải phương trình Mở máy tính