Hình trụ bán kính 3, chiều cao 5
plain
r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, khoảng 141.37. Bình phương bán kính trước rồi mới nhân với chiều cao; làm ngược lại sẽ ra 225π, lớn gấp năm lần.
Máy tính thể tích
Sáu hình khối, mỗi hình có công thức được viết ra trước khi dùng.
Cập nhật lần cuối
Muốn tự giải mà không cần máy tính?
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Mọi công thức thể tích đều là diện tích nhân chiều cao
Một hình lăng trụ (hình hộp, hình trụ, bất kỳ khối nào có mặt cắt giống nhau từ đáy lên đỉnh) có thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Chỉ một ý đó đã bao được hai trong sáu hình khối ở đây: hình hộp là dài × rộng × cao vì diện tích đáy là dài × rộng, còn hình trụ là πr²h vì đáy là hình tròn có diện tích πr². Nắm được quy luật này hiệu quả hơn học thuộc từng công thức riêng lẻ.
Những hình thu nhỏ dần về đỉnh, tức hình nón và hình chóp, có thể tích đúng bằng MỘT PHẦN BA khối lăng trụ chứa chúng. Cùng đáy, cùng chiều cao, chỉ bằng một phần ba thể tích. Hệ số 1/3 không phải tùy tiện, và đây là điều hay bị quên nhất của cả chủ đề; một hình nón cùng kích thước với hình trụ chỉ chứa được một phần ba lượng nước, điều dễ nhớ hơn hẳn khi bạn đã thử đổ nước từ hình này sang hình kia.
Hình cầu là trường hợp riêng với 4/3πr³, và cũng nên giữ chính xác vì cùng lý do với mọi thứ khác ở đây: π là số vô tỉ, nên 36π là đáp án còn 113.1 chỉ là giá trị làm tròn của nó. Trang này giữ nguyên ký hiệu, ghi số thập phân bên cạnh, và cho bạn cả diện tích bề mặt lẫn đường sinh ở những chỗ hai giá trị đó cũng tính được chính xác.
Điều cần để ý
- Với mọi khối dạng lăng trụ, thể tích bằng diện tích đáy × chiều cao. Nhận ra điều này biến bốn công thức thành một ý duy nhất cộng với đúng công thức diện tích đáy.
- Hình nón hoặc hình chóp bằng một phần ba khối lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao. Quên hệ số 1/3 là lỗi kinh điển và làm đáp án lớn gấp đúng ba lần.
- Mọi kích thước phải cùng một đơn vị trước khi bắt đầu, và thể tích khi đó có đơn vị là đơn vị ấy LẬP PHƯƠNG. Trộn centimet với mét là sai lệch tới một triệu lần.
- Gấp đôi một kích thước thì thể tích gấp đôi; gấp đôi cả ba kích thước thì thể tích gấp tám. Đó là lý do thể tích tăng nhanh hơn chiều dài rất nhiều.
- π nằm trong đáp án, không nằm trong bước tính. 45π là chính xác, và đổi ra 141.37 ở bước cuối không tốn gì mà lại dễ kiểm tra.
- Đường sinh của hình nón không phải chiều cao của nó. Đường sinh là cạnh huyền của tam giác tạo bởi bán kính và chiều cao, nên mới ra một căn bậc hai, và nó dùng cho diện tích xung quanh, không dùng cho thể tích.
Cách tính thể tích
Xác định hình khối và viết công thức
Làm việc này trước khi đụng đến con số nào. Lập phương s³, hình hộp lwh, hình trụ πr²h, hình cầu 4/3πr³, hình nón 1/3πr²h, hình chóp tứ giác đều 1/3s²h.
Kiểm tra đơn vị có khớp nhau không
Đổi tất cả về cùng một đơn vị trước. Đây là bước âm thầm làm hỏng đáp án, vì phần tính toán phía sau trông vẫn hoàn toàn ổn.
Thay số vào công thức
Viết công thức với các con số của bạn trước khi tính bất cứ thứ gì. Trong bài kiểm tra có chấm điểm theo bước, riêng dòng thay số thường đã được một điểm.
Tính lũy thừa trước khi nhân
Với hình trụ bán kính 3 và chiều cao 5: bình phương 3 trước được 9, rồi 9 · 5 = 45, ra 45π. Nhân trước rồi mới bình phương sẽ cho một con số khác và sai.
Ghi đáp án theo đơn vị khối
Bán kính tính bằng centimet thì thể tích tính bằng centimet khối. Giữ nguyên π trừ khi đề bài yêu cầu số thập phân.
Sáu công thức, kèm một giá trị mẫu
Mỗi công thức và kết quả của nó với một ví dụ nhỏ. Để ý hệ số 1/3 ở hai hình khối thu nhỏ về đỉnh.
| Hình khối | Công thức | Ví dụ | Thể tích chính xác | Số thập phân |
|---|---|---|---|---|
| Hình lập phương | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Hình hộp chữ nhật | l · w · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Hình trụ | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Hình cầu | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Hình nón | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Hình chóp tứ giác đều | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Hình cầu | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Hình trụ | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Ví dụ có lời giải
Hình cầu bán kính 3
plain
r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, khoảng 113.1. Ở đây 27 và 4/3 rút gọn rất gọn, nên sách giáo khoa nào cũng lấy bán kính 3 làm ví dụ. Diện tích bề mặt 4πr² cũng bằng 36π, một sự trùng hợp chỉ có khi r = 3.
Hình nón bán kính 3, chiều cao 4
plain
r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, khoảng 37.7. So với hình trụ cùng đáy và cùng chiều cao, chứa được 36π: hình nón đúng bằng một phần ba. Đường sinh của nó là √(3² + 4²) = 5, giá trị mà thể tích không cần nhưng diện tích xung quanh thì cần.
Hình lập phương cạnh 4
plain
s = 4V = s³ = 4³ = 64, không có π ở đâu cả. Diện tích bề mặt là 6s² = 96, vì hình lập phương có sáu mặt vuông giống hệt nhau. Cả hai đáp án đều là số nguyên, nên đây là ví dụ tiện để kiểm tra lại cách làm của bạn.
Khi đáp án giữ phân số: hình cầu bán kính 2
plain
r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, khoảng 33.51. 32 không chia hết cho 3, nên đáp án chính xác phải giữ phân số. Viết 33.5 là mất phần đó, và trong câu hỏi nào dùng tiếp giá trị này thì sai số sẽ kéo theo.
Lỗi thường gặp
- Quên hệ số 1/3 ở hình nón hoặc hình chóp. Đáp án ra lớn gấp đúng ba lần, lỗi dễ phát hiện nhất khi bạn đã biết phải tìm ở đâu.
- Trộn đơn vị. Đổi đơn vị trước: bán kính tính bằng centimet với chiều cao tính bằng mét cho ra một con số chẳng có nghĩa gì.
- Nhân trước khi bình phương. Trong πr²h chỉ có bán kính được bình phương, không phải cả tích; π · (3 · 5)² là một đại lượng hoàn toàn khác.
- Lấy đường kính làm bán kính. Làm vậy r tăng gấp đôi, khiến thể tích hình trụ gấp bốn và thể tích hình cầu gấp tám.
- Nhầm thể tích với diện tích bề mặt. Một bên là khoảng không gian bên trong, tính bằng đơn vị khối; bên kia là lớp vỏ ngoài, tính bằng đơn vị vuông.
- Dùng đường sinh để tính thể tích hình nón. Thể tích cần chiều cao vuông góc; đường sinh dành cho diện tích xung quanh.
Câu hỏi thường gặp về thể tích
Công thức tính thể tích hình trụ là gì?
V = πr²h, tức diện tích đáy hình tròn nhân chiều cao. Với bán kính 3 và chiều cao 5, thể tích là π · 9 · 5 = 45π, khoảng 141.37. Bình phương bán kính trước rồi mới nhân với chiều cao.
Thể tích hình cầu tính thế nào?
V = 4/3 πr³. Hình cầu bán kính 3 có thể tích 4/3 · π · 27 = 36π, khoảng 113.1. Đây là công thức duy nhất ở trang này không thể hiểu thành diện tích đáy nhân chiều cao, nên phải học thuộc.
Vì sao công thức hình nón và hình chóp có hệ số 1/3?
Vì hình nón hoặc hình chóp chứa được đúng một phần ba khối lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao. Đổ đầy một hình nón vào hình trụ cùng kích thước thì chỉ được một phần ba; hệ số này là bản chất của hình thu nhỏ về đỉnh, không phải con số chế cho khớp.
Thể tích có đơn vị là gì?
Đơn vị bạn dùng cho các kích thước, lập phương lên. Centimet cho centimet khối, mét cho mét khối. Mọi kích thước phải được đổi về cùng một đơn vị TRƯỚC khi tính, nếu không đáp án sẽ vô nghĩa.
Tính thể tích hình hộp chữ nhật thế nào?
Nhân ba kích thước với nhau: V = l · w · h. Đây cũng là diện tích đáy nhân chiều cao như mọi khối lăng trụ, vì diện tích đáy của hình hộp là l · w. Hình hộp 2 × 3 × 4 có thể tích 24 đơn vị khối.
Thể tích và diện tích bề mặt khác nhau thế nào?
Thể tích là khoảng không gian bên trong, đo bằng đơn vị khối; diện tích bề mặt là tổng diện tích mặt ngoài, đo bằng đơn vị vuông. Trang này cho cả hai ở những hình mà diện tích bề mặt tính được chính xác: hình lập phương, hình hộp, hình trụ và hình cầu.
Đường sinh của hình nón là gì?
Khoảng cách từ đỉnh nón dọc theo mặt nghiêng xuống mép đáy: √(r² + h²), theo định lý Pythagore áp dụng cho bán kính và chiều cao. Nó dài hơn chiều cao, là thứ công thức diện tích xung quanh cần, và không tham gia vào thể tích.
Vì sao giữ π dạng ký hiệu thay vì nhân ra?
Vì 45π là chính xác còn 141.37 chỉ là giá trị làm tròn. Đề thi thường yêu cầu đáp án theo π chính vì có thể kiểm tra mà không cần máy tính, và làm tròn sớm trong bài toán nhiều bước sẽ làm mất độ chính xác mà các bước sau cần.
