Ví dụ kinh điển: hai cạnh góc vuông 3 và 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, và √25 = 5 chính xác. Đây là tam giác 3-4-5, tam giác nhỏ nhất có ba cạnh nguyên, rất đáng để nhận ra ngay, cùng với các bội số 6-8-10 và 9-12-15 của nó.
Máy tính định lý Pytago
Biết hai cạnh trên tam giác được vẽ sẵn là ra cạnh thứ ba, chính xác, kể cả căn thức.
Cập nhật lần cuối
Muốn tự giải mà không cần máy tính?
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Bình phương hai cạnh góc vuông cộng lại bằng bình phương cạnh huyền
Trong tam giác vuông, và chỉ trong tam giác vuông, a² + b² = c², với c là cạnh huyền: cạnh đối diện góc vuông và luôn dài nhất trong ba cạnh. Định lý này nói về DIỆN TÍCH: dựng một hình vuông trên mỗi cạnh ngắn, tổng diện tích của chúng đúng bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh dài nhất. Đó là lý do mọi thứ đều được bình phương và kết quả cần khai căn ở bước cuối.
Phép tính đi theo chiều nào tùy vào cạnh nào còn thiếu, và đây là chỗ hay sai nhất. Khi tìm cạnh huyền, bạn CỘNG hai bình phương. Khi tìm cạnh góc vuông, bạn TRỪ: a² = c² − b², vì bình phương cạnh huyền là tổng, còn bình phương cạnh góc vuông đã biết là một phần của tổng đó. Cộng khi lẽ ra phải trừ sẽ cho kết quả lớn hơn cạnh huyền, điều không thể xảy ra, nên đây là một cách kiểm tra hữu ích.
Kết quả ở đây là chính xác. Cạnh huyền của tam giác có hai cạnh góc vuông 2 và 3 là √13, và trang này trả về đúng √13, kèm 3.6056 bên cạnh với ghi chú đó là giá trị làm tròn. √20 được rút gọn thành 2√5 thay vì để nguyên, và tam giác có cả ba cạnh là số nguyên sẽ được đánh dấu là bộ ba Pytago.
Điều cần lưu ý
- Định lý chỉ đúng với tam giác vuông. Với tam giác bất kỳ khác, a² + b² và c² đơn giản là hai số khác nhau; khi đó định lý cosin là dạng tổng quát.
- c luôn là cạnh dài nhất. Nếu cạnh huyền bạn tính ra ngắn hơn một cạnh góc vuông, có một phép cộng đã bị biến thành phép trừ ở đâu đó.
- Tìm cạnh góc vuông là phép trừ. a² = c² − b² suy ra trực tiếp từ định lý, và đây là trường hợp bị làm sai nhiều hơn hẳn so với tìm cạnh huyền.
- Phần lớn kết quả là số vô tỉ. Tam giác có ba cạnh nguyên như 3-4-5, 5-12-13 là ngoại lệ, vì vậy dạng căn mới quan trọng.
- Diện tích tam giác vuông là ab/2, tích hai cạnh góc vuông chia đôi. Cạnh huyền không tham gia: hai cạnh góc vuông đã vuông góc với nhau, nên một cạnh là đáy và cạnh kia là chiều cao.
- Mọi bội số của một bộ ba Pytago cũng là bộ ba Pytago. 3-4-5 nhân 3 cho 9-12-15, vì thế vài tam giác quen thuộc cứ xuất hiện lại trong bài tập.
Cách tìm cạnh còn thiếu
Xác định cạnh huyền
Đó là cạnh đối diện góc vuông và dài nhất trong ba cạnh. Xác định sai cạnh này thì mọi bước sau đều sai, nên hãy đánh dấu nó trước khi tính bất cứ điều gì.
Quyết định cộng hay trừ
Thiếu cạnh huyền: cộng bình phương của hai cạnh góc vuông. Thiếu cạnh góc vuông: lấy bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông đã biết.
Bình phương các cạnh đã biết
Bình phương trước, rồi mới cộng hoặc trừ. Cộng trước rồi bình phương, tức (a + b)², sẽ ra một số khác và lớn hơn nhiều.
Khai căn bậc hai
Phép khai căn đảo ngược phép bình phương và cho ra chính độ dài cạnh. Nếu kết quả không phải số nguyên, hãy rút gọn căn thay vì đổi sang số thập phân: √20 là 2√5.
Kiểm tra độ lớn
Cạnh huyền phải dài hơn mỗi cạnh góc vuông và ngắn hơn tổng của chúng. Nếu kết quả vi phạm một trong hai quy tắc, bạn đã nhầm giữa cộng và trừ.
Tóm tắt nhanh về tam giác vuông
Các bộ ba đáng ghi nhớ, và điều gì xảy ra khi kết quả không phải số nguyên. Cột chính xác là đáp án; cột thập phân là giá trị làm tròn của nó.
| a | b | c | Chính xác | Thập phân |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Ví dụ có lời giải
Cạnh huyền vô tỉ: hai cạnh góc vuông 2 và 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13, nên cạnh huyền là √13. Đó mới là đáp án; 3.6056 chỉ là giá trị làm tròn, và bình phương 3.6056 cho 12.9999… chứ không phải 13. Phần lớn tam giác vuông đều như vậy; trường hợp số nguyên mới là ngoại lệ.
Rút gọn căn: hai cạnh góc vuông 2 và 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20, và √20 không để nguyên: 20 = 4 · 5, số 4 đưa ra ngoài căn thành 2, ta được 2√5. Vẫn là cùng một số, và là dạng mà mọi đáp án chấm điểm đều yêu cầu.
Tìm cạnh góc vuông: cạnh huyền 5, cạnh còn lại 4
plain
b = 4, c = 5Biến đổi trước: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, nên a = 3. Nếu cộng thì sẽ ra √41 ≈ 6.4, dài hơn cả cạnh huyền: điều không thể, và chính phép kiểm tra này phát hiện lỗi ngay lập tức.
Cạnh là phân số: hai cạnh góc vuông 3/2 và 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, và căn bậc hai của 25/4 đúng bằng 5/2. Phân số được giữ nguyên dạng phân số suốt quá trình, nên đáp án là 5/2 chứ không phải 2.5, dù ở đây hai số này bằng nhau.
Những lỗi thường gặp
- Cộng khi cạnh còn thiếu là cạnh góc vuông. Bình phương cạnh huyền là TỔNG, nên tìm cạnh góc vuông nghĩa là trừ đi từ tổng đó.
- Bình phương tổng thay vì cộng các bình phương. a² + b² không phải là (a + b)²; số sau lớn hơn 2ab, và với tam giác thật thì 2ab không bao giờ bằng 0.
- Gọi nhầm cạnh huyền. Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông, không phải cạnh được vẽ sau cùng hay cạnh nằm bên phải.
- Quên khai căn. 3² + 4² = 25 là bình phương của đáp án, chưa phải đáp án: cạnh huyền là 5, không phải 25.
- Áp dụng định lý cho tam giác không có góc vuông. Định lý chỉ đúng với tam giác vuông; các tam giác khác cần định lý cosin.
- Làm tròn căn quá sớm. Bình phương √13 đúng bằng 13, nhưng bình phương 3.61 là 13.0321, và trong bài toán nhiều bước sai số đó sẽ lớn dần.
Câu hỏi thường gặp về định lý Pytago
Định lý Pytago là gì?
Trong tam giác vuông, a² + b² = c², với a và b là hai cạnh ngắn hơn (cạnh góc vuông) và c là cạnh huyền đối diện góc vuông. Hiểu theo diện tích: hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông có tổng diện tích đúng bằng hình vuông dựng trên cạnh huyền.
Làm sao để tính cạnh huyền?
Bình phương hai cạnh góc vuông, cộng lại rồi khai căn: c = √(a² + b²). Với hai cạnh 3 và 4, kết quả là √25 = 5. Nếu căn không ra số nguyên, hãy giữ ở dạng căn đã rút gọn: √20 thành 2√5.
Làm sao để tính cạnh góc vuông?
Trừ, đừng cộng: a² = c² − b², nên a = √(c² − b²). Với cạnh huyền 5 và một cạnh góc vuông 4, kết quả là √(25 − 16) = 3. Đây là trường hợp hay sai nhất, và cách kiểm tra là cạnh góc vuông luôn phải ngắn hơn cạnh huyền.
Bộ ba Pytago là gì?
Ba số nguyên thỏa mãn định lý: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Mọi bội số của một bộ ba cũng là bộ ba, nên 6-8-10 và 9-12-15 có sẵn từ 3-4-5. Phần lớn tam giác vuông KHÔNG phải bộ ba, vì vậy kết quả vô tỉ mới là điều bình thường.
Định lý có đúng với mọi tam giác không?
Không, chỉ đúng với tam giác vuông. Với tam giác bất kỳ, dạng tổng quát là định lý cosin, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), và nó trở thành định lý Pytago đúng khi C bằng 90° và cosin của nó bằng 0.
Vì sao trang này giữ căn bậc hai thay vì số thập phân?
Vì dạng căn là đáp án chính xác, còn số thập phân chỉ là giá trị làm tròn. Bình phương √13 đúng bằng 13; bình phương 3.61 là 13.0321. Trong bài toán nhiều bước, chênh lệch đó tích tụ dần, và phần lớn đáp án chấm điểm vẫn yêu cầu dạng chính xác.
Làm sao kiểm tra một tam giác có phải tam giác vuông không?
Thử định lý với ba cạnh bạn có: nếu a² + b² bằng đúng c², với c là cạnh dài nhất, thì tam giác có một góc vuông. Nếu vế trái lớn hơn thì góc đó nhọn, còn nếu nhỏ hơn thì góc đó tù. Đây là định lý Pytago đảo và là một cách kiểm tra thực sự hữu ích.
Máy tính có xử lý được phân số và số thập phân không?
Có, và cả hai đều giữ chính xác. Hai cạnh góc vuông 3/2 và 2 cho cạnh huyền đúng bằng 5/2, và số thập phân bạn nhập được đọc thành đúng phân số mà nó biểu diễn, không phải một giá trị dấu phẩy động gần đúng.
