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Die Kurve y = a·bˣ zu Daten mit Wachstum oder Zerfall, mit der Rate pro Schritt.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Eine Gerade addiert bei jedem Schritt in x denselben Betrag. Vieles multipliziert sich stattdessen mit demselben Faktor: Geld mit Zinseszins, eine Bakterienkultur, die Restladung eines Akkus, der Temperaturunterschied zwischen einem abkühlenden Getränk und dem Raum. Dieses Muster ist y = a·bˣ, wobei a der Wert bei x = 0 ist und b der Faktor, der bei jedem Schritt angewendet wird. Ist b größer als 1, wächst die Größe, liegt b zwischen 0 und 1, nimmt sie ab, und (b minus 1) in Prozent ist die Rate pro Schritt.
Das übliche Verfahren nimmt den natürlichen Logarithmus jedes y. Wenn y = a·bˣ, dann ist ln y = ln a + x·ln b, eine Gerade in x. Das Verfahren legt also eine gewöhnliche Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate durch die Punkte (x, ln y), liest ln b an ihrer Steigung und ln a an ihrem Achsenabschnitt ab und macht die Logarithmen rückgängig. Genau das tun der Befehl ExpReg auf einem TI-84 und die exponentielle Trendlinie in Excel, und diese Seite zeigt jede Stufe: die Spalte ln y, die angepasste Gerade und die zwei Exponentialfunktionen, die a und b zurückholen.
Weil Logarithmen irrational sind, ist das der einzige Regressionsrechner dieser Reihe, dessen Ergebnisse gerundete Dezimalzahlen statt exakter Brüche sind, und das steht auch neben dem Ergebnis. Außerdem muss jedes y größer als 0 sein, weil der Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl nicht existiert. Das angezeigte r² ist das r² der Geraden durch ln y, also die Zahl, die ein grafikfähiger Taschenrechner ausgibt.
Ersetze jedes y durch ln y. Für x = 0, 1, 2, 3, 4 und y = 3, 6, 12, 24, 48 ist die neue Spalte etwa 1,0986; 1,7918; 2,4849; 3,1781 und 3,8712.
Nimm die gewöhnlichen Formeln der kleinsten Quadrate für Steigung und Achsenabschnitt, angewendet auf die Punkte (x, ln y). Hier ist die Steigung etwa 0,6931 und der Achsenabschnitt etwa 1,0986.
Die Steigung ist ln b und der Achsenabschnitt ln a, also ist b = e hoch Steigung und a = e hoch Achsenabschnitt. Hier b ≈ e^0,6931 = 2 und a ≈ e^1,0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, oder zur Basis e y ≈ 3e^(0,6931x). b = 2 heißt, dass jeder Schritt y mit 2 multipliziert: ein Wachstum von 100 % pro Schritt und eine Verdopplungszeit von genau einem Schritt.
Jede Zeile ist ein Datensatz, eingegeben in den Rechner oben. Alle Werte sind auf vier Nachkommastellen gerundet.
| x-Werte | y-Werte | Ausgleichskurve | Änderung pro Schritt | r² von ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ | -18.05% | 1.0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ | +103.13% | 0.9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1.05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ | -32.38% | 0.9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Jedes y ist doppelt so groß wie das vorige, die Punkte liegen also genau auf y = 3·2ˣ, und der Rechner gibt a ≈ 3 und b ≈ 2 zurück, ein Wachstum von 100 % pro Schritt, mit r² = 1. Zur Basis e ist dieselbe Kurve y ≈ 3e^(0,6931x), und 0,6931 ist ln 2. Bis x = 6 fortgesetzt sagt sie 3·2⁶ = 192 voraus.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Lies y als den Temperaturunterschied zum Raum, gemessen alle fünf Minuten. Die Anpassung ist y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ, oder y ≈ 99,9517e^(-0,1991x): Bei jedem Schritt verschwinden etwa 18,05 % des Unterschieds, und die Halbwertszeit ist ln 2 / 0,1991, etwa 3,48 Schritte. Die Anpassung an die Logarithmen ist fast perfekt: r² ist auf fünf Stellen 0,99999, was der Rechner auf 1 rundet.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36Die Werte verdoppeln sich ungefähr bei jedem Schritt, aber nicht genau. Die Anpassung ist y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ, ein Wachstum von etwa 103,13 % pro Schritt, mit r² ≈ 0,9999 auf der logarithmischen Skala. Zur Basis e ist k ≈ 0,7087, die Verdopplungszeit also ln 2 / 0,7087, etwa 0,98 Schritte.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Ein Guthaben von 1000 mit 5 % Zinsen pro Jahr. Der Rechner findet y ≈ 1000 · 1,05ˣ, eine Änderung von +5 % pro Schritt, mit r² = 1. Den Zinssatz aus einer Liste von Kontoständen zurückzugewinnen ist genau das, wofür diese Anpassung gedacht ist.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Diese Punkte fallen bei jedem Schritt um denselben Betrag, liegen also auf einer Geraden, y = -x + 5. Eine exponentielle Anpassung liefert trotzdem y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ mit r² ≈ 0,9473 auf der logarithmischen Skala, was ordentlich aussieht. Zeichne die Kurve zu den Punkten, und sie verfehlt beide Enden: Hier ist eine Gerade das richtige Modell, und die lineare Regression passt sie exakt an.
