Rechner für quadratische Regression

Die quadratische Regression passt die Parabel an, die die Punkte am wenigsten verfehlt

Manche Daten steigen und fallen dann wieder, oder fallen und steigen wieder: die Höhe eines geworfenen Balls, der Gewinn bei verschiedenen Preisen, der Verbrauch eines Autos bei verschiedenen Geschwindigkeiten. Eine Gerade durch solche Daten hat die falsche Form, egal wie gut sie liegt. Die quadratische Regression passt stattdessen eine Parabel an, y = ax² + bx + c, und wählt a, b und c so, dass die quadrierten senkrechten Abweichungen von den Punkten zusammen so klein wie möglich werden. Es ist dieselbe Idee der kleinsten Quadrate wie bei der linearen Regression, nur mit einem Koeffizienten mehr.

Die quadrierten Abweichungen zu minimieren führt auf drei Gleichungen in a, b und c, die Normalgleichungen, gebildet aus den Summen von x, x², x³, x⁴, y, xy und x²y. Ein grafikfähiger Taschenrechner löst sie mit Gleitkommazahlen. Diese Seite löst sie mit exakten Brüchen, ein Koeffizient von -8/7 steht also als -8/7 da und nicht als -1,142857, und auch R² ist ein exakter Bruch.

Unter der Antwort stehen für jeden Punkt der vorhergesagte Wert und das Residuum. Eine gute quadratische Anpassung hinterlässt Residuen, die wie Rauschen aussehen: über und unter null verstreut, ohne Muster. Wenn sie immer noch eine Kurve bilden oder über die Tabelle hinweg stetig wachsen, ist auch eine Parabel nicht die richtige Form, und ein anderes Modell ist einen Versuch wert.

Was an der Parabel auffällt

• Das Vorzeichen von a bestimmt die Form: Negatives a öffnet nach unten und hat einen höchsten Punkt, positives a öffnet nach oben und hat einen tiefsten Punkt.
• Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten passen immer exakt. Die Punkte (1, 4), (2, 9) und (3, 20) liegen auf y = 3x² - 4x + 5, jedes Residuum ist 0, und das sagt nichts über die Daten.
• R² ist bei einer Parabel 1 minus die Summe der Residuenquadrate geteilt durch die Gesamtstreuung von y. Es kann nie kleiner sein als das r² einer Geraden bei denselben Daten, weil eine Gerade eine Parabel mit a = 0 ist.
• Der Scheitelpunkt der angepassten Kurve liegt bei x = -b/(2a). Für die Daten 2, 6, 11, 13, 12, 8 bei x = 1 bis 6 ist das x = 33/8, wo die Kurve ihr Maximum von etwa 12,45 erreicht.
• Der angepassten Kurve kannst du nur zwischen dem kleinsten und dem größten x trauen. Hinter den Enden dreht eine Parabel um und läuft gegen plus oder minus unendlich, egal was die Daten tun.

So rechnest du eine quadratische Regression von Hand

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   Bilde die Summen

   Berechne für jeden Punkt x, x², x³, x⁴, y, xy und x²y, addiere dann jede Spalte und zähle die Punkte. Für x = 0, 1, 2, 3 und y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 und Σx²y = 121.

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   Stell die Normalgleichungen auf

   aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy und aΣx² + bΣx + cn = Σy. Mit den Summen oben: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 und 14a + 6b + 4c = 19.

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   Löse die drei Gleichungen

   Eliminiere eine Unbekannte nach der anderen und halte die Brüche exakt. Dieses System ergibt a = 1,25, b = -0,45 und c = 1,05, also y = 1,25x² - 0,45x + 1,05.

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   Prüfe mit den Residuen

   Setz jedes x in die Kurve ein und zieh die Vorhersage vom tatsächlichen y ab. Hier sind die Residuen -0,05; 0,15; -0,15 und 0,05, ihre Quadrate ergeben 0,05, und R² = 1214/1215, etwa 0,9992.

Ausgleichsparabeln für kleine Datensätze

Jede Zeile ist ein Datensatz, eingegeben in den Rechner oben, mit den exakten Koeffizienten und dem R², die er ausgibt.

Gerechnete Beispiele

x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11

x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8

x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2

x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4

Häufige Fehler

• Nur drei Punkte verwenden und R² = 1 als tolle Anpassung lesen. Drei beliebige Punkte mit verschiedenen x-Werten liegen immer auf irgendeiner Parabel.
• Die Summen oder Koeffizienten unterwegs runden. Die Normalgleichungen sind empfindlich, und eine kleine Rundung in Σx⁴ kann c spürbar verschieben. Behalte die Brüche bis zum Schluss.
• Die Summen an die falschen Stellen der Gleichungen schreiben. Oben links steht Σx⁴, unten rechts n; jede Zeile senkt die Potenzen um eins.
• Weit außerhalb der Daten vorhersagen. Die Parabel dreht hinter ihren Enden um und läuft gegen unendlich, ob die echte Größe das tut oder nicht.
• Eine Parabel wählen, weil R² gestiegen ist. R² ist bei einer Parabel immer mindestens so groß wie das r² einer Geraden bei denselben Daten; die Frage ist, ob die Residuen ihr Muster verlieren.

Häufige Fragen zur quadratischen Regression