30-60-90 の三角形

どの直角三角形にも辺どうしの比があります。そのほとんどでは、比は電卓が要る醜い 小数です。ちょうど二つだけ、書き下せる短く厳密な式になります。だからこの二つは 問題のたびに顔を出すのです。

下で二つを切り替え、大きさも変えてみてください。

30-60-90 はどこから来るのか

正三角形から始めます。三辺が等しく、三つの角がすべて60°。それを真ん中で、頂点 から底辺の中点まで切ります。

切り口は底辺に垂直なので、直角ができます。底辺側の60°の角の一つはそのまま残り ます。頂点の60°は二つに割れて30°になります。これがあなたの 30-60-90 三角形で、 辺の長さをすでに知っている図形から生まれました。

では辺を読み取りましょう。もとの正三角形の辺が2なら、半分の斜辺は依然として2で、 底辺は半分の1になっています。高さはピタゴラスの定理から出ます。

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3 なので h = sqrt(3)。

辺は 1、sqrt(3)、2 — これが比であり、測定ではなく厳密な作図から 来ているので厳密です。

どの辺がどこに行くか

誤りの大半を防ぐ規則はこれです。最も大きい辺は、最も大きい角の向かい側。

つまり斜辺は短い辺の2倍であって、長い辺の2倍ではありません。そして sqrt(3) はおよそ 1.73 なので、長い辺は他の二つの間に収まります。 書いた答えの手早い確認になります。

45-45-90 は半分に切った正方形

同じ手口、別の図形。一辺1の正方形を取り、対角線で切ります。残る二つの角は45°、 二辺は等しく、対角線が斜辺です。

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 なので d = sqrt(2)。

比は 1 : 1 : sqrt(2)。こちらは正方形のあるところならどこにでも 現れます。画面の対角線、タイル、チェス盤。

欠けた辺を求める

いつも短い辺まで戻り、それから倍にします。

**斜辺が与えられた場合。**斜辺14の 30-60-90：半分にして短い辺は7、長い辺は 7sqrt(3)。

**長い辺が与えられた場合。**長い辺9の 30-60-90：sqrt(3) で割ると 短い辺は 3sqrt(3)、よって斜辺は 6sqrt(3)。

**45-45-90 の一辺が与えられた場合。**もう一辺はそれと等しく、斜辺はその辺の sqrt(2) 倍です。

これを読みながら図のスライダーを動かしてください。上の計算は、同じ読み取りを 三つの大きさで見ているだけです。

ひとつ試す

30-60-90 の三角形の短い辺が6です。長いほうの辺はいくつでしょう。

30-60-90 の三角形の短い辺が6です。60度の角の向かい側にある辺の長さはいくつでしょうか。

10.39 ではなく 6sqrt(3) のまま残してください。問題の次の段階が 実際に使えるのは厳密な形のほうであり、採点者が見ているのもそれです。

厳密な三角比はそのまま出てくる

この二つの三角形は辺が厳密なので、サインとコサインも厳密です。単位円の表に並ぶ 数はここから来ています。

第一象限の全体で異なる値は三つだけ。しかも30°と60°は同じ組を入れ替えたもので、 一つの三角形を二つの鋭角から読んだのだと思えば、まさに予想どおりです。