分数のかけ算

分数の組にできる4つの計算のうち、かけ算はずっと簡単です。分子をかけ、分母をかけ、 終わり。通分もなし、逆にするのもなし、並べ替えもなし。

そこで、ほとんどのページが飛ばす疑問が出てきます。分数のたし算は分母がそろうことを 要求します。かけ算はなぜ要求しないのでしょう。

答えは重なった部分

正方形は1つの全体です。1つめの分数はそれを列に切っていくつかを塗り、2つめは 行に切っていくつかを塗ります。濃く塗られた長方形が2つの塗りが重なった場所で、 その長方形が答えです。

3/4 と 2/3 では、正方形は4列3行に切られ、小さなマスが12個できます。重なりは3列 x 2行 を覆うので6マス。12のうち6:

3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2

上の2つの数がかけ算されたのは、重なりが横にこれだけ、縦にこれだけのマス数だから です。下の2つがかけ算されたのは、正方形全体が合計これだけのマスに切られたからです。 ほかのことは起こりえません。

そして通分の疑問はここで自分から答えを出します。2つの切れ目は違う向きに走るので、 そろえる必要が一度もありません。 たし算が同じ大きさの区画を要求するのは区画を一緒に 数えるからで、ここでは何も一緒に数えていません。部分の部分を取っているだけです。

それは「~の」という言葉

かけ算の記号を~のと読むと、分数のかけ算は覚えるものではなくなります。

• 半分の半分は4分の1 — 1/2 * 1/2 = 1/4
• 4分の3の3分の2は2分の1 — 2/3 * 3/4 = 1/2
• 60の3分の1は20 — 1/3 * 60 = 20

「30人のクラスの5分の3」のような文章題が、もっと複雑な何かではなくかけ算になる理由も これです。

ひとつ引っかかる点があります。1より小さい分数をかけると小さくなります。その一部を 取っているからです。3/4 * 8 = 6 で、6は8より小さい。これは間違いではなく、 「4分の3の」が意味することそのものです。

整数と帯分数

整数は下に1がある分数で、そう書けば同じ規則が使えます。

4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8

帯分数はまず仮分数にしなければなりません。整数部分と分数部分を別々にかけて正しい答えに なる方法はないからです。2 + 1/2 は 5/2 なので

5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3

2と2をかけ、次に半分と3分の1をかけたくなったら、2 1/2 かける 2 1/2 で試してください。 正直な答えは 6 1/4 で、近道は 4 1/4 を出します。

先に約分すれば数は小さいまま

積全体が1つの分数なので、かける前にどの分子とどの分母を約分してもかまいません。 3/4 * 8/9 を見てください。

• 3と9は3を共通に持ち、1と3が残る
• 4と8は4を共通に持ち、1と2が残る

残るのは 1/1 * 2/3 = 2/3 — 正しい答えで、72を一度も書いていません。先に かけると 24/36 になり、もう少し手を動かせば同じ 2/3 に なります。早めの約分は別の方法ではなく、計算が少ないだけです。

やってみよう

2/3*5/4

10/12 になったなら、量は正しく形が違うだけです。約分してください。通分をしたなら、 その手順はたし算のもので、このページはここで省ける理由の説明そのものです。