SOHCAHTOA

SOHCAHTOA は、たいていの人がすでに半分知っていることのよい語呂であり、本当に つまずく箇所には何もしてくれません。誤りはほとんどの場合、文字ではありません。 「対辺」「隣辺」を三角形に描かれたラベルのように扱ってしまったことです。実際に は、どちらもあなたがどの角に立っているかに完全に依存します。

下の三角形を変えてみて、それから印のついた角を A から B に切り替えてください。 線は一本も動かないのに、ラベルだけが入れ替わります。

辺は紙面からではなく、角から名づける

斜辺は簡単です。つねに最も長い辺、つねに直角の向かい側の辺で、どちらの鋭角 から見ても変わりません。

残る二つは変わります。

• 対辺は、その角に触れていない辺。
• 隣辺は、その角に触れている直角をはさむ辺。

名づけの規則はこれだけで、図に A/B の切り替えがあるのもこのためです。3-4-5 の 三角形では、長さ4の辺は一方の角の対辺であり、もう一方の角の隣辺です。「4 は対辺 か」という問いは、角が名指しされるまで答えの存在しない問いです。

三つの比

辺に名前がついて初めて、語呂が意味を持ちます。

二つは斜辺を使い、タンジェントだけが仲間外れで斜辺を使いません。選ぶときの最短 経路はたいていここです。問題文のどこにも斜辺が出てこないなら、欲しいのはタン ジェントです。

大きさが関係ない理由

三角比を成り立たせている事実がここにあります。直角三角形の辺をすべて二倍しても 角は変わらず、比も変わりません。倍率が打ち消し合うからです。

(2*3)/(2*5) = 3/5

つまりある角のサインは、特定の三角形ではなくその角の性質です。だからこそ サインの表というものが存在でき、電卓は何の大きさも教えられないまま答えられる のです。

図の二つのスライダーを比を保ったまま動かし - 3 と 4、それから 6 と 8 - 三つの 表示が動かないのを見てください。

正しい比の選び方

手順はいつも同じ、三段階です。

1. 角に印をつけ、その角から三辺にラベルを貼る。
2. 問題が触れている二辺を見る。ひとつは既知、ひとつは求めたいもの。
3. その二辺からできている比を選ぶ。

長さ10メートルのはしごが地面と65°をなして立てかけてある。どこまで届くか。はしご が斜辺、高さは角の対辺なので、対辺と斜辺すなわちサインです。 sin(65°) = h/10、したがって h = 10sin(65°)。

この推論のどこにも、はしご用の公式を思い出す作業はありませんでした。

ひとつ試す

直角三角形の直角をはさむ二辺が 6 と 8 なので、斜辺は 10 です。長さ 6 の辺の 向かい側にある角のサインはいくつでしょう。

直角三角形の直角をはさむ二辺が 6 と 8 なので、斜辺は 10 です。長さ 6 の辺の向かい側にある角のサインはいくつでしょうか。

6/8 と答えたなら、斜辺と直角をはさむ辺を取り違えています。「斜辺」という語が 存在するのは、まさにその誤りを防ぐためです。

この先

ここから道は二つあります。いくつかの角は電卓なしで厳密な比を与えてくれます - 30-60-90 と 45-45-90 の三角形 - これはそらで覚える価値があります。その先では、 単位円が同じ三つの比を三角形から解き放ち、90度を越えても意味を持ち続けさせます。