関数の記法
この単元をまるごと脱線させる誤読が「f(x) は f かける x」です。投入口のある機械は何とも掛け算できません。だから説明より絵が勝つのです。
最終更新
ほとんどの人が f(x) を見て「f かける x」と読みます。不注意では ありません。代数の他のあらゆる場所では、並べて書かれた二つは実際に掛け算され ているからです。2x はそうです。a(b+c) もそうです。
ですから直し方は注意書きではなく、別の絵です。数を落とし込む機械という絵です。
入力を囲む括弧に注目してください。f(x) は f かける x ではありません。機械の名前と、そこに入れたものです。
まず名前、そのあとに入れたもの
f(3) は「エフ三」ではなく「エフの3」と声に出して読んでください。f は 機械の名前で、括弧は入ったものを収めています。掛け算はしていません。機械は量 ではないからです。
この絵が入ると、記法は元が取れます。何が入って何が出たかという二つの事実を一つの 記号に記録できるのです。ただの y にはできません。y = 7 は出力を伝え ますが、f(2) = 7 は出力とそれを生んだ入力を伝えます。
複数の関数が衝突せず同じページに並べるのも利点です。f と g があるとき、 f(2) と g(2) は曖昧さがありません。y が二つではそうは いきません。
値を求める：括弧つきで代入する
f(3) を求めるには、規則の中のすべての x を 3 に置き換えます。その とき 3 を括弧に入れてください。
f(x) = 2x + 1 なら:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
正の数なら括弧はうるさく見えます。入力が負になった瞬間、うるさくなくなります。
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
括弧がないと 2 - 2 + 1 と書いて 1 になり、それは何の答えでもありま せん。この習慣ひとつで、この単元の符号ミスのほとんどが消えます。
入力は数である必要もありません。機械に a + 1 を入れれば f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3 です。数字の代わりにかたまり を入れただけの、同じ代入です。
どの値も一つの点です
いくつか入力を与えて、組を書き出してみましょう。
| x | f(x) | 点として |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
これらの組は座標です。つまり関数の出力は一枚の絵になります。
だから f(x) = 2x + 1 と y = 2x + 1 は同じ直線を描き ます。規則は同じで、関数の記法が入力の名前を手放さないだけの違いです。
f(7) と f(x) = 7 は正反対の問いです
この区別のところは速度を落とす価値があります。
f(7) は機械に 7 を渡し、何が出るかを尋ねます。代入であり、一行で 済みます。
f(x) = 7 は出力が 7 になったと言い、何が入ったのかを尋ねます。 これは解くべき方程式です。
つまり f(4) = 9 です。前へ進むのは算数、後ろへ戻るのは代数で、記法 はどちらもほとんど同じに見えます。だからこそ、この違いを一度きちんと名指しして おく価値があるのです。
ひとつ試す
f(x) = 2x + 1 のとき、f(-4) はいくつでしょう。
-3 や 9 になったなら、見るべきは括弧です。入力は 2 に掛けるのであって、足したり 引いたりするのではありません。
次に出会う二つの言葉
機械が受け取れる入力の集まりが定義域、生み出せる出力の集まりが値域です。 どちらもふつう区間の記法で書かれ、どちらも機械そのものについての問いであって、 そこへ入れた特定の数についての問いではありません。
よくある質問
- f(x) はどういう意味ですか。
- f という名前の関数に x を与えたときの出力です。f は機械に貼られた名札のような名前で、括弧はそこへ入れたものを収めています。f かける x ではありません。ここでの括弧は「かける」ではなく「に適用する」という意味です。
- f(3) はどう計算しますか。
- 規則の中のすべての x を、括弧つきの 3 に置き換えてから計算します。f(x) = 2x + 1 なら f(3) = 2(3) + 1 = 7 です。数を括弧で囲む習慣が、負の入力での誤りを防ぎます。f(-2) = 2(-2) + 1 = -3 ですが、括弧を外すと 2 - 2 + 1 と書きたくなってしまいます。
- なぜ y ではなく f(x) と書くのですか。
- どの入力がその出力を生んだかが分かるからです。y では y = 5 と書けても、その 5 が x = 2 から来たとは書けません。関数の記法なら f(2) = 5 が両方を一つの記号で伝えます。さらに f、g、h と複数の関数が同じページに並んでも出力が混ざりません。
- f(x) = 7 と f(7) の違いは何ですか。
- 正反対の問いです。f(7) は機械に 7 を渡して何が出るかを尋ねます。f(x) = 7 は出力が 7 になったと言い、何を入れたのかを尋ねます。つまり代入ではなく方程式を解く話です。この二つを取り違えるのが、この単元で二番目に多い誤りです。
- f と x 以外の文字を使えますか。
- 使えますし、実際に使うことになります。関数には f、g、h、入力には x が慣例ですが、文字に本質はありません。g(t) = 3t は入力が t の関数 g を表し、まったく同じようにふるまいます。応用問題では意味のある文字が選ばれます。t 秒後の高さを h(t) とするように。
次は自分の手で、本気で
他人の計算を読むことと、自分で解けることは別です。Coddy の数学コースは一手ごとに正しさを確認するボードで進めるので、今の実力がはっきり分かります。
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