点と傾きの式

直線に関する問題のほとんどは、一点と傾き、あるいは二点を与えます。y 切片を与える 問題はほとんどありません。それなのに書ける形が y = mx + b だけだと、 誰も聞いていない b を求めるのに一行半を費やすことになります。

点と傾きの式はそこを飛ばします。下の点をドラッグして、式が追いかけてくる様子を 見てください。

公式はどこから来るのか

傾きとは、直線上の任意の二点のあいだの「上がり幅 ÷ 進み幅」です。その一方を既知の 点 (x₁, y₁) に固定し、もう一方を一般の点 (x, y) とします。 すると

m = (y - y₁)/(x - x₁)

両辺に x - x₁ を掛ければ分数は消えます。

y - y₁ = m(x - x₁)

導出はこれで全部です。点と傾きの式は新しい考えではなく、割り算を元に戻した傾きの 公式にすぎません。だからこそ直線上のすべての点がこれを満たし、直線上のどの点 からでも使えるのです。

二つの引き算は、あなたの点からの距離です

二つのマイナス記号は、別々の軸で同じ仕事をしています。x₁ からどれ だけ横へ進んだか、y₁ からどれだけ上がったか。そう読めば、符号は 暗記するものではなくなります。

ただし座標が負のときには噛みつきます。(-3, 4) を通る傾き2の直線は

y - 4 = 2(x + 3)

です。-3 を引くことは 3 を足すことだからです。そこにプラスが出るのは誤りでは ありません。x - 3 と書くほうが誤りです。

図の点を第三象限へ動かし、二つの符号がどちらも入れ替わるのを見てください。この形 で最も多く誤答を生むのがこの部分であり、三十秒眺めるほうが規則より効きます。

二点、一本の直線

(1, 1) と (4, 7) が与えられたとします。まず傾きを求め、 それからどちらかの点を入れます。

m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2

最初の点を使うと y - 1 = 2(x - 1)、二つ目を使うと y - 7 = 2(x - 4) になります。似ても似つかないのに同じ 直線です。どちらを展開しても y = 2x - 1 になります。

疑うより信じるほうが得です。答えが解答と違って見えたら、間違えたと決めつける前に 両方を展開してみてください。

傾き切片形へ直す

問題が本当に y = mx + b を求めているときは、二手で済みます。括弧を 展開し、y を一人にするだけです。

y - 3 = 2(x - 1) から始めると、展開して y - 3 = 2x - 2、両辺に 3 を足して y = 2x + 1。

考えずに済ませた b が最後に現れます。それこそが要点です。仕事をしたのは点と傾きの 式で、傾き切片形は書式にすぎません。

ひとつ試す

y - 3 = 2(x - 1)

ここでいちばん多いつまずきは、2(x - 1) を 2x - 1 と展開してしまうことです。2 は括弧の中の両方の項に届かなければ なりません。分配法則がいつもの仕事をしているだけです。

どの問いにどの形か

点と傾きの式は直線を書くための形、傾き切片形は直線を読むための形です。多くの 問題はこの順で両方を必要とします。