Обозначения множеств
Обозначения множеств составляют небольшой алфавит: фигурные скобки перечисляют множество, ∈ говорит, что элемент ему принадлежит, ∪ объединяет два множества, ∩ оставляет их общую часть, а штрих отмечает всё остальное. Каждый символ соответствует области диаграммы Венна.
Обновлено
Множество представляет собой набор различных объектов, которые называют его элементами. Обозначения множеств сводятся к горстке символов, которыми перечисляют множество, говорят, что ему принадлежит, и объединяют два множества в третье. Их меньше дюжины, и каждый называет область диаграммы Венна.
Здесь A означает делители 12, а B чётные числа внутри универсального множества U = {1, 2, ..., 12}. Выберите операцию и посмотрите, какую область она закрашивает.
- U = {1, 2, ..., 12}
- натуральные числа от 1 до 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- делители 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- чётные числа
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Как читать объединение A и B
Всё, что лежит в A, в B или в обоих.
Элементов: 8
Символы
| символ | название | как читать | пример с множествами выше |
|---|---|---|---|
| { } | фигурные скобки | «множество» | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | принадлежит | «лежит в» | 6 ∈ A |
| ∉ | не принадлежит | «не лежит в» | 5 ∉ A |
| ⊆ | подмножество | «является подмножеством» | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | объединение | «объединение A и B» | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | пересечение | «пересечение A и B» | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | разность | «A без B» | A \ B = {1, 3} |
| A′ | дополнение | «дополнение A» или «не A» | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | симметрическая разность | «симметрическая разность A и B» | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | пустое множество | «пустое множество» | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | универсальное множество | «универсальное множество» | всё, о чём идёт речь |
Каждый ответ в последнем столбце можно проверить на диаграмме выше, и один раз стоит сделать это вручную: выпишите A и B, затем прочитайте каждую операцию по двум спискам.
Как записать множество
Перечисление выписывает элементы в фигурных скобках: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. К нему прилагаются два правила. Порядок не важен, повторы тоже, поэтому {1, 2, 3}, {3, 2, 1} и {1, 1, 2, 3} являются одним и тем же множеством.
Задание характеристическим свойством описывает элементы правилом:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
Читайте это как «множество натуральных чисел x таких, что 12, делённое на x, тоже натуральное число». Вертикальная черта означает «таких, что»; в некоторых книгах вместо неё двоеточие. Только так можно записать множество с бесконечным числом элементов, например {x ∈ ℝ | x > 3}, которое запись промежутков сокращает до (3, ∞).
У числовых множеств свои буквы: ℕ для натуральных чисел, ℤ для целых, ℚ для рациональных и ℝ для действительных.
Операции над двумя множествами
Четыре операции покрывают почти любой вопрос:
- Объединение, A ∪ B: всё, что лежит в A, или в B, или в обоих. Это слово «или». Ничто не выписывается дважды, поэтому 2, 4, 6 и 12 встречаются один раз, хотя лежат в обоих множествах.
- Пересечение, A ∩ B: только то, что лежит в обоих множествах сразу. Это слово «и».
- Разность, A \ B: то, что лежит в A, но не в B. Порядок важен, потому что B \ A = {8, 10}, а A \ B = {1, 3}. В некоторых книгах разность пишут через знак минус.
- Дополнение, A′: всё из универсального множества, что не лежит в A. Без универсального множества дополнение не определено, поэтому каждую диаграмму Венна окружает прямоугольник.
Симметрическая разность, A △ B, равна объединению без пересечения: это элементы, которые лежат ровно в одном из двух множеств.
Принадлежит или является подмножеством
Эти два символа путают в теме чаще всего, потому что оба отвечают на вопрос «оно там лежит?».
- ∈ связывает элемент с множеством: 2 ∈ A.
- ⊆ связывает множество с множеством: {2} ⊆ A.
Запись «2 ⊆ A» неверна, потому что 2 является числом, а не множеством, а запись «{2} ∈ A» неверна по обратной причине: A содержит число 2, а не множество {2}.
Множество является подмножеством другого, когда каждый его элемент лежит в другом. Достаточно одного недостающего элемента, чтобы это стало неверным: A не является подмножеством B, потому что 1 лежит в A, но не в B. Пустое множество является подмножеством любого множества, так как у него нет элемента, которого могло бы не хватить.
Подсчёт с диаграммой Венна
Число элементов множества записывают между вертикальными чертами: |A| = 6. Чтобы сосчитать объединение, сложите два множества и вычтите пересечение, которое было посчитано дважды:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Для множеств выше это 6 + 6 минус 4, то есть 8, столько же, сколько при прямом подсчёте объединения. Это формула включений и исключений, и именно так решают задачи вроде «сколько учеников изучают французский или испанский».
Ответ: 18 + 12 минус 5, то есть 25. Если у вас получилось 30, пятеро учеников, которые играют в оба, посчитаны дважды.
Множества и логика устроены одинаково
Объединение означает «или», пересечение означает «и», а дополнение означает «не». Это не вольная аналогия: элемент лежит в A ∩ B ровно тогда, когда высказывание «он лежит в A и он лежит в B» истинно. Страница про дискретную математику строит таблицы истинности для этих слов, и одна и та же диаграмма Венна закрашивает и то, и другое.
Частые вопросы
- Что означает ∈?
- ∈ означает «является элементом» или «принадлежит». 3 ∈ A говорит, что 3 является одним из элементов множества A. Перечёркнутый символ ∉ означает «не является элементом», так что 5 ∉ A говорит, что 5 не лежит в A. Символ представляет собой стилизованную греческую букву эпсилон, от слова «элемент».
- Чем ∈ отличается от ⊆?
- ∈ связывает элемент с множеством, а ⊆ связывает множество с множеством. Если A = {1, 2, 3}, то 2 ∈ A и {2} ⊆ A оба верны, а 2 ⊆ A неверно, потому что 2 является числом, а не множеством. Читайте ⊆ как «является подмножеством»: каждый элемент левого множества лежит и в правом.
- Что такое задание множества характеристическим свойством?
- Способ описать множество правилом вместо списка. {x | x > 3} читается как «множество всех x таких, что x больше 3». Вертикальная черта, в некоторых книгах двоеточие, означает «таких, что». Это единственный практичный способ записать множество с бесконечным числом элементов.
- Чем объединение отличается от пересечения?
- Объединение A ∪ B содержит всё, что лежит в A, или в B, или в обоих. Пересечение A ∩ B содержит только то, что лежит одновременно в A и в B. На диаграмме Венна объединение изображают оба круга вместе, а пересечение изображает линза, где они перекрываются, поэтому пересечение всегда лежит внутри объединения.
- Как записать дополнение множества?
- В большинстве книг пишут A′ (A со штрихом), Aᶜ или A с чертой сверху. Все три записи означают одно и то же: все элементы универсального множества U, которые не лежат в A. Дополнение зависит от U, поэтому, прежде чем его выписывать, всегда проверяйте, каково универсальное множество.
- Что означает ∅?
- ∅ обозначает пустое множество, множество без элементов. Его также можно записать как {}. Оно является подмножеством любого множества, потому что у него нет элемента, которого могло бы не оказаться в другом множестве. Заметьте, что {∅} не пусто: это множество из одного элемента, и этот элемент является пустым множеством.
- Чем ⊂ отличается от ⊆?
- ⊆ означает «является подмножеством» и допускает равенство двух множеств. ⊂ обычно означает собственное подмножество, то есть меньшее, чем другое множество. Книги здесь расходятся: некоторые используют ⊂ для любого подмножества и пишут ⊊, когда имеют в виду собственное. Когда это важно, проверьте, какое соглашение принято в вашем курсе.
