Запись промежутков
Нельзя рассуждением перейти от «3 входит» к «значит, квадратная скобка» — это соглашение. Запоминается оно тогда, когда видишь, как три записи движутся вместе.
Обновлено
Запись промежутков не трудна. Она условна, а это хуже. Нет рассуждения, которое вело бы от «3 принадлежит этому множеству» к «значит, ставим квадратную скобку»: кто-то так решил, и теперь это надо знать.
Запоминается это по-настоящему тогда, когда видишь, как три способа записи одного множества двигаются одновременно. Потяните за конец ниже, затем переключите его между «включён» и «исключён».
Сдвиньте границу, затем переключите её между «включена» и «исключена». Скобка меняет форму, а точка закрашивается — это две записи одного факта.
Две скобки
Любой промежуток пишется меньшим концом вперёд, большим — следом, и каждый конец несёт одну из двух пометок:
| что имеется в виду | неравенство | запись | на прямой |
|---|---|---|---|
| конец входит | x <= 7 | 7] | закрашенная точка |
| конец не входит | x < 7 | 7) | пустая точка |
Вот и всё соглашение. Остальное — бухгалтерия.
Так что -2 <= x < 5 — две с половиной мысли в одной строке —
превращается в [-2, 5). Квадратная скобка слева говорит, что -2 в множестве;
круглая справа — что 5 нет.
Полезная проверка: форма скобки смотрит туда же, куда и знак. У квадратной скобки конец плоский и закрытый — как чёрточка под знаком ≤. Круглая открыта и скруглена — как простое <.
У бесконечности скобка всегда открытая
У x > 3 нет верхнего конца, поэтому пишут (3, ∞).
Обратите внимание на круглую скобку справа. Это не вопрос вкуса — это
вынужденность. Квадратная скобка означает «этот конец входит в множество», а
бесконечность не число и потому не может входить никуда. Запись [3, ∞]
утверждает, что какое-то значение равно бесконечности, — поэтому любой
учебник считает её ошибкой.
С другой стороны то же самое: x <= 5 — это (-∞, 5]: открыто со стороны бесконечности, закрыто со стороны 5.
Два участка сразу
Некоторые множества не цельные. «Всё, что меньше -2, или больше 5» не укладывается в один промежуток, потому что числа между ними не входят. Соедините куски объединением:
(-∞, -2) ∪ (5, ∞)
Всегда пишите левый кусок первым и никогда наоборот, как [5, -2]. Первое
число промежутка — меньшее, так что перевёрнутый промежуток не описывает ничего.
Чаще всего эта форма встречается в областях определения. Область определения 1/(x-3) — все числа, кроме 3, то есть (-∞, 3) ∪ (3, ∞): прямая с одной выколотой точкой.
От неравенства к промежутку
Большинство заданий дают неравенство и потом просят ответ промежутком, так что обе половины важны одинаково. Сначала решите:
Ответ — x < 5. Нижнего конца нет, а 5 исключена, значит, в записи промежутков это (-∞, 5).
Ловушка при решении: умножение или деление на отрицательное меняет знак на противоположный. -3x <= 12 даёт x >= -4, а не x <= -4, — и если поворот пропущен, промежуток смотрит ровно в другую сторону.
Попробуйте
А потом, прежде чем идти дальше, произнесите ответ вслух как промежуток. Уметь решить и уметь записать — два разных навыка, и баллы теряются на втором.
Частые вопросы
- Что такое запись промежутков?
- Короткий способ записать участок числовой прямой. Указывают оба конца по порядку, меньший первым, а вид скобки говорит, входит ли сам конец: квадратная включает его, круглая исключает. Так [2, 7) означает всё от 2 до 7, не включая 7.
- Когда квадратная скобка, а когда круглая?
- Квадратная — для конца, который принадлежит множеству, круглая — для того, который не принадлежит. Это напрямую соответствует знаку неравенства: «меньше или равно» даёт квадратную, «строго меньше» — круглую. На числовой прямой то же различие — закрашенная точка против пустой.
- Почему у бесконечности всегда круглая скобка?
- Потому что бесконечность — не число, и ничто не может быть ей равно. Квадратную скобку конец получает только тогда, когда множество содержит это значение, а бесконечность не содержится нигде. Поэтому пишут (-∞, 5] или [3, ∞) — никогда квадратную скобку у знака бесконечности.
- Как записать два отдельных участка?
- Соединить их знаком объединения ∪, записав сначала левый участок: (-∞, -2) ∪ (5, ∞) — это всё, что меньше -2, вместе со всем, что больше 5. Так выглядит неравенство со словом «или», и оно постоянно встречается в областях определения, откуда нужно выбросить одно значение.
- Чем это отличается от записи через условие?
- Это два стиля для одних и тех же множеств. Запись промежутков называет два конца и оставляет подробности скобкам; запись через условие выписывает само условие — например, множество тех x, для которых 2 не больше x и x меньше 7. Промежутки короче, и именно их обычно требуют для области определения и множества значений.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор