Уравнение через точку и наклон
Вид y = mx + b требует ровно ту точку, которую почти ни одна задача не даёт. Форма через точку берёт ту, что вам действительно дали, — потому за неё и стоит браться первой.
Обновлено
Почти любая задача о прямых даёт точку и наклон или две точки. Почти ни одна не даёт точку пересечения с осью y. И всё же y = mx + b обычно единственная форма, которую умеют записать, — так что полторы строки уходят на поиск b, о котором никто не спрашивал.
Форма через точку это пропускает. Потяните точку ниже и посмотрите, как уравнение следует за ней.
Перетащите точку куда угодно. Уравнение перепишется вокруг той точки, где вы остановились: прямая вовсе не обязана пересекать ось y в целом числе.
Откуда берётся формула
Наклон — это подъём, делённый на сдвиг, между любыми двумя точками прямой. Закрепите одну из них в известной точке (x₁, y₁), а другую оставьте общей точкой (x, y). Тогда
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Умножьте обе части на x - x₁ — и дробь исчезает:
y - y₁ = m(x - x₁)
Вот и весь вывод. Эта форма не новая идея: это формула наклона с отменённым делением, поэтому ей удовлетворяет вся прямая и она работает от любой её точки.
Оба вычитания — это расстояния от вашей точки
Два минуса делают одну и ту же работу на разных осях: насколько вы сдвинулись от x₁ и насколько поднялись от y₁. Прочитанные так, знаки перестают быть тем, что нужно запоминать.
Кусаются они, когда координата отрицательна. Прямая с наклоном 2, проходящая через (-3, 4), это
y - 4 = 2(x + 3)
потому что вычесть -3 значит прибавить 3. Плюс там — не ошибка; ошибка — писать x - 3.
Переместите точку на рисунке в третью четверть и посмотрите, как оба знака переворачиваются. Это та часть формы, которая порождает больше всего неверных ответов, и тридцать секунд наблюдения помогают лучше правила.
Две точки, одна прямая
Даны (1, 1) и (4, 7): сначала наклон, затем любая из точек.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
С первой точкой получается y - 1 = 2(x - 1), со второй — y - 7 = 2(x - 4). Они совсем не похожи и задают одну и ту же прямую: раскройте любую — и получите y = 2x - 1.
Этому стоит доверять, а не сомневаться. Если ваш ответ не совпал с ответом в книге, раскройте оба, прежде чем решать, что ошиблись.
Переход к виду y = mx + b
Когда задача действительно просит y = mx + b, перевод — это два шага: раскрыть скобку и выразить y.
Начиная с y - 3 = 2(x - 1): раскрытие даёт y - 3 = 2x - 2, а прибавление 3 к обеим частям — y = 2x + 1.
То самое b, о котором не пришлось думать, появляется в конце — в этом и суть. Работу сделала форма через точку; вид y = mx + b — лишь формат.
Попробуйте
Самая частая осечка здесь — раскрыть 2(x - 1) как 2x - 1. Двойка должна дойти до обоих слагаемых в скобке, и это распределительное свойство за своей обычной работой.
Какая форма для какого вопроса
| что дано | берите |
|---|---|
| точка и наклон | форму через точку |
| две точки | наклон по ним, затем форму через точку |
| пересечение с осью y и наклон | вид y = mx + b |
| уравнение, которое нужно быстро начертить | вид y = mx + b |
| прямая, параллельная или перпендикулярная другой, через точку | форму через точку |
Форма через точку — это форма, чтобы прямую записать; вид y = mx + b — чтобы её прочитать. Большинству задач нужны обе, именно в таком порядке.
Частые вопросы
- Что такое уравнение прямой через точку и наклон?
- Это уравнение y - y1 = m(x - x1), где m — угловой коэффициент, а (x1, y1) — любая точка, через которую проходит прямая. Это прямой перевод формулы наклона: подъём от известной точки, делённый на сдвиг от неё же, всегда равен m, а умножение обеих частей на этот сдвиг убирает дробь.
- Когда брать эту форму, а не y = mx + b?
- Всякий раз, когда данная точка не является точкой пересечения с осью y, то есть почти всегда. Виду y = mx + b нужно b, поэтому от произвольной точки пришлось бы сначала выражать b. Форма через точку позволяет написать ответ сразу и переписать потом, если задача этого требует.
- Как найти уравнение прямой через две точки?
- Сначала найдите наклон: разность y делённая на разность x. Затем возьмите любую из двух точек — действительно любую — и подставьте в форму через точку. Переписывать нужно только тогда, когда в задаче требуется конкретный вид.
- Почему в формуле два вычитания?
- Потому что оба — это разности, отсчитанные от известной точки: насколько вы сдвинулись от x1 и насколько поднялись от y1. Если координата отрицательна, вычитание превращается в сложение — и именно там происходят почти все ошибки: точка (-3, 4) даёт y - 4 = m(x + 3), и этот плюс верен.
- Важно ли, какую из двух точек взять?
- Нет. Два уравнения выглядят по-разному и описывают ровно одну прямую: перепишите оба в вид y = mx + b, и они совпадут. Почти любой преподаватель примет любое из них, а если требуется определённый вид, переписывание снимает спор.
Хотите проверить на своих числах?
Решение уравнений Открыть калькулятор