Уравнение через точку и наклон
Вид y = mx + b требует ровно ту точку, которую почти ни одна задача не даёт. Форма через точку берёт ту, что вам действительно дали, — потому за неё и стоит браться первой.
Обновлено
Почти любая задача о прямых даёт точку и наклон или две точки. Почти ни одна не даёт точку пересечения с осью y. И всё же y = mx + b обычно единственная форма, которую умеют записать, — так что полторы строки уходят на поиск b, о котором никто не спрашивал.
Форма через точку это пропускает. Потяните точку ниже и посмотрите, как уравнение следует за ней.
Перетащите точку куда угодно. Уравнение перепишется вокруг той точки, где вы остановились: прямая вовсе не обязана пересекать ось y в целом числе.
Откуда берётся формула
Наклон — это подъём, делённый на сдвиг, между любыми двумя точками прямой. Закрепите одну из них в известной точке (x₁, y₁), а другую оставьте общей точкой (x, y). Тогда
m = (y - y₁)/(x - x₁)
Умножьте обе части на x - x₁ — и дробь исчезает:
y - y₁ = m(x - x₁)
Вот и весь вывод. Эта форма не новая идея: это формула наклона с отменённым делением, поэтому ей удовлетворяет вся прямая и она работает от любой её точки.
Оба вычитания — это расстояния от вашей точки
Два минуса делают одну и ту же работу на разных осях: насколько вы сдвинулись от x₁ и насколько поднялись от y₁. Прочитанные так, знаки перестают быть тем, что нужно запоминать.
Кусаются они, когда координата отрицательна. Прямая с наклоном 2, проходящая через (-3, 4), это
y - 4 = 2(x + 3)
потому что вычесть -3 значит прибавить 3. Плюс там — не ошибка; ошибка — писать x - 3.
Переместите точку на рисунке в третью четверть и посмотрите, как оба знака переворачиваются. Это та часть формы, которая порождает больше всего неверных ответов, и тридцать секунд наблюдения помогают лучше правила.
Две точки, одна прямая
Даны (1, 1) и (4, 7): сначала наклон, затем любая из точек.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
С первой точкой получается y - 1 = 2(x - 1), со второй — y - 7 = 2(x - 4). Они совсем не похожи и задают одну и ту же прямую: раскройте любую — и получите y = 2x - 1.
Этому стоит доверять, а не сомневаться. Если ваш ответ не совпал с ответом в книге, раскройте оба, прежде чем решать, что ошиблись.
Переход к виду y = mx + b
Когда задача действительно просит y = mx + b, перевод — это два шага: раскрыть скобку и выразить y.
Начиная с y - 3 = 2(x - 1): раскрытие даёт y - 3 = 2x - 2, а прибавление 3 к обеим частям — y = 2x + 1.
То самое b, о котором не пришлось думать, появляется в конце — в этом и суть. Работу сделала форма через точку; вид y = mx + b — лишь формат.
Попробуйте
Самая частая осечка здесь — раскрыть 2(x - 1) как 2x - 1. Двойка должна дойти до обоих слагаемых в скобке, и это распределительное свойство за своей обычной работой.
Какая форма для какого вопроса
| что дано | берите |
|---|---|
| точка и наклон | форму через точку |
| две точки | наклон по ним, затем форму через точку |
| пересечение с осью y и наклон | вид y = mx + b |
| уравнение, которое нужно быстро начертить | вид y = mx + b |
| прямая, параллельная или перпендикулярная другой, через точку | форму через точку |
Форма через точку — это форма, чтобы прямую записать; вид y = mx + b — чтобы её прочитать. Большинству задач нужны обе, именно в таком порядке.
Частые вопросы
- Что такое уравнение прямой через точку и наклон?
- Это уравнение y - y1 = m(x - x1), где m — угловой коэффициент, а (x1, y1) — любая точка, через которую проходит прямая. Это прямой перевод формулы наклона: подъём от известной точки, делённый на сдвиг от неё же, всегда равен m, а умножение обеих частей на этот сдвиг убирает дробь.
- Когда брать эту форму, а не y = mx + b?
- Всякий раз, когда данная точка не является точкой пересечения с осью y, то есть почти всегда. Виду y = mx + b нужно b, поэтому от произвольной точки пришлось бы сначала выражать b. Форма через точку позволяет написать ответ сразу и переписать потом, если задача этого требует.
- Как найти уравнение прямой через две точки?
- Сначала найдите наклон: разность y делённая на разность x. Затем возьмите любую из двух точек — действительно любую — и подставьте в форму через точку. Переписывать нужно только тогда, когда в задаче требуется конкретный вид.
- Почему в формуле два вычитания?
- Потому что оба — это разности, отсчитанные от известной точки: насколько вы сдвинулись от x1 и насколько поднялись от y1. Если координата отрицательна, вычитание превращается в сложение — и именно там происходят почти все ошибки: точка (-3, 4) даёт y - 4 = m(x + 3), и этот плюс верен.
- Важно ли, какую из двух точек взять?
- Нет. Два уравнения выглядят по-разному и описывают ровно одну прямую: перепишите оба в вид y = mx + b, и они совпадут. Почти любой преподаватель примет любое из них, а если требуется определённый вид, переписывание снимает спор.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор