Умножение дробей
Умножение дробей - самая простая из четырёх операций, а преподают её как запутанную, потому что правило приходит без всякой причины. Причина - квадрат, разрезанный в двух направлениях.
Обновлено
Из четырёх действий с парой дробей умножение - с большим отрывом самое простое: умножить числители, умножить знаменатели, готово. Ни общего знаменателя, ни переворачивания, ни перестановок.
И тут возникает вопрос, который почти все страницы пропускают. Сложение дробей требует совпадения знаменателей. Почему умножение - нет?
Два разреза идут в разных направлениях, поэтому им незачем совпадать - именно поэтому умножению не нужен общий знаменатель. Ответ - это область пересечения.
Ответ - область пересечения
Квадрат - это одно целое. Первая дробь режет его на столбцы и закрашивает часть из них; вторая режет его на строки и закрашивает часть из них. Сильно закрашенный прямоугольник - это место, где две закраски пересекаются, и этот прямоугольник и есть ответ.
При 3/4 и 2/3 квадрат разрезан на 4 столбца и 3 строки, то есть на 12 маленьких клеток. Пересечение занимает 3 столбца на 2 строки, значит 6 клеток. Шесть из двенадцати:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Два верхних числа перемножились, потому что пересечение имеет столько-то клеток в ширину и столько-то в высоту. Два нижних перемножились, потому что весь квадрат разрезан на столько-то клеток всего. Иначе и быть не могло.
И теперь вопрос про общий знаменатель отвечает сам себе. Два разреза идут в разных направлениях, поэтому им незачем совпадать. Сложению нужны одинаковые части, потому что вы считаете части вместе; здесь вы ничего не считаете вместе, вы берёте часть от части.
Это слово "от"
Читайте знак умножения как от, и умножение дробей перестаёт требовать запоминания:
- половина от половины - четверть — 1/2 * 1/2 = 1/4
- две трети от трёх четвертей - половина — 2/3 * 3/4 = 1/2
- треть от 60 - это 20 — 1/3 * 60 = 20
Это же и причина, по которой условие вида "три пятых класса из 30 человек" - это умножение, а не что-то посложнее.
Одно следствие сбивает с толку. Умножение на дробь меньше 1 уменьшает, потому что вы берёте её часть. 3/4 * 8 = 6, а 6 меньше 8. Это не ошибка; это и значит "три четверти от".
Целые и смешанные числа
Целое число - это дробь с 1 внизу, и в такой записи то же правило его покрывает:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Смешанное число сначала должно стать неправильной дробью, потому что перемножить целую и дробную части по отдельности и получить верный ответ нельзя. 2 + 1/2 - это 5/2, поэтому
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Если хочется перемножить 2 на 2, а потом половины на трети, попробуйте на 2 1/2 умножить 2 1/2: честный ответ - 6 1/4, а короткий путь даёт 4 1/4.
Сократите заранее, и числа останутся маленькими
Поскольку всё произведение - одна дробь, любой числитель можно сократить с любым знаменателем до умножения. Возьмите 3/4 * 8/9:
- у 3 и 9 общий множитель 3, остаются 1 и 3
- у 4 и 8 общий множитель 4, остаются 1 и 2
остаётся 1/1 * 2/3 = 2/3 — верный ответ, и 72 нигде не написано. Если сначала перемножить, получится 24/36, что после чуть большей работы сокращается до того же 2/3. Раннее сокращение - не другой метод, а просто меньше арифметики.
Попробуйте
Если получилось 10/12, величина верная, а форма нет - сократите. Если вы искали общий знаменатель, этот шаг относится к сложению, и вся эта страница объясняет, почему здесь его можно пропустить.
Частые вопросы
- Как умножать дроби?
- Умножьте два числителя между собой и два знаменателя между собой, затем сократите. Так 3/4 x 2/3 = 6/12, то есть 1/2. Ни шага с общим знаменателем, ни переворачивания: это относится к сложению и делению.
- Почему для умножения не нужен общий знаменатель?
- Потому что две дроби режут целое в разных направлениях. Сложение требует частей одного размера, чтобы их можно было считать вместе; умножение берёт дробь ОТ дроби, поэтому один разрез идёт поперёк другого и им никогда не нужно совпадать. В квадрате выше одна дробь режет столбцы, а другая - строки.
- Что на самом деле значит умножение дробей?
- Оно значит "от". Половина от половины - четверть, и именно это говорит 1/2 x 1/2 = 1/4. Если читать знак умножения как слово "от", почти любая текстовая задача превращается в очевидный расчёт: две трети от 3/4 - это 2/3 x 3/4.
- Как умножить дробь на целое число?
- Запишите целое число над 1 и продолжайте как обычно. 4/5 x 10 становится 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Стоит заметить, что ответ вырос: умножение на число больше 1 всегда увеличивает, а умножение на дробь меньше 1 всегда уменьшает.
- Можно ли сокращать до умножения?
- Да, и обычно это проще. Любой числитель можно сократить с любым знаменателем до умножения, потому что всё произведение - одна большая дробь. В 3/4 x 8/9 у 3 и 9 общий множитель 3, а у 4 и 8 - общий множитель 4, остаётся 1/1 x 2/3 = 2/3, и большое число нигде не пишется.
Хотите проверить на своих числах?
Калькулятор дробей Открыть калькулятор